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四、贝努利（Bernoulli）概型 独立试验序列的概念 在相同的试验条件下，进行一系列随机试验，观察某事件A发生与否.若每次试验结果相互独立,则这样的一系列试验称为独立试验序列.统计学家伯努利（Bernolli）首先注意并研究了这类试验.故也称为多重伯努利试验. 例如， ▲连续抛骰子10次，观察出现偶数点的次数； ▲某人打靶命中率为0.7，连续打靶15发子弹，观察命中次数； ▲在次品率为0.1的一批产品中，有放回地每次任取1件，重复8次，观察其中的次品数. 独立试验概型 在相同的条件下，将某一试验独立地、重复地进行n次，这种随机试验模型称为独立试验概型。特别，当试验只有两个可能的结果时，就是前面的Bernoulli概型。 Bernoulli概型的特点 1、试验的条件相同（重复），对每次试验来说，可能结果只有两个； 2、各次试验的结果是相互独立的。 二项概率公式 ? 在多重伯努利试验中，设每次试验时，事件A发生的概率为P(A)=p (0p1)，则P( )=q=1-p，在n次试验中，事件A发生m次的概率为 由于Pn(m)是二项式(q+px)n展开式中xm的系数，故称其为二项概率公式 二项概率公式的证明 证明：在n重伯努利试验中,设Ai={第i次试验出现事件A},则指定的某m次(比如前m次)出现事件A的概率可利用事件的独立性求得 由于在n次试验中恰有m次出现事件A共有 种情形，故在n次试验中，事件A发生m次的概率为 二项概率公式的性质 二项公式的近似计算（Poisson分布）略。 例8 某批产品中有20 ％的次等品，进行重复抽样检查，共取五个样品，求其中次品数等于0，1，2，3，4，5的概率． 例9 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？ 解（l）如果采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A1={甲净胜两局}, A2={前两局中各胜一局，第三局甲胜}．则甲胜的概率为 (2) 如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜：B1={甲净胜三局}；B2={前三局中甲胜两局,负一局,第四局甲胜}；B3={前四局中甲、乙各胜两局,第五局甲胜}.则甲胜的概率为 五局三胜制度下，甲获胜的可能性较大。 例10 一个工人负责维修10台同类型的机床，在同一段时间内每台机床发生故障需要维修的概率为0.3.求：(1)在这段时间内有2至4台机床需要维修的概率； (2)在这段时间内至少有2台机床需要维修的概率. 例11 人寿保险问题 在保险公司里有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了人寿保险，在一年内每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人一年付12元保险费，而在死亡时家属可在保险公司里领取2000元。不计利息，问： （1）A={保险公司亏本}的概率是多大？ （2）B={保险公司获利不少于10000元}的概率是多少？ 解：根据题意知，应以“年”为单位来考虑。若一年死亡X人，则保险公司可支出2000X元，一年中保险公司收入为2500?12=30000元，于是 （1）当2000X30000即X15时，A={保险公司亏本}发生，所以P(A)=P(X15)。 如果把“参加保险的一个人在一年中死亡”看作一次试验，于是把2500人参加保险看作2500次独立重复试验，则 2）当30000-2000X?10000即X ? 10时，B={保险公司获利不少于10000元}发生，所以 这说明保险公司亏本的概率不到万分之一，赢利高于保险金总额的1/3的概率达到98%以上，说明了“保险公司为什么那么乐于开展保险业务”的道理。不过对死亡概率的正确估计是关键。 小结 本节首先给出事件独立的定义，然后给出独立事件性质定理，多个利用独立性概念方便地计算事件概率的实例，特别是独立试验序列概型的二项公式。 求概率的一般步骤 1、能否利用古典概型或独立试验序列概型的概率计算公式； 2、如果所求事件的对立事件较简单，应先求它的对立事件的概率，然后再求它的概率； 3、如果所求事件较复杂，能否设法用较简单的事件表示出来，再利用性质计算概率； 4、能否利用全概公式，关键是寻找一完备事件组； 5、如果是条件概率，可考虑利用条件概率的定义、乘法公式以及逆概公式。 作业 第27-28页 习题1－5 6 ,7,9,10 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可 * * * * * 第一章第五节 事件的独立性 显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：已知事件