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例2.8 考察离散时间系统： 知 ，求解。 解：可得： 及 如果∣λi∣ 1，i =1，2，则x（k）将收敛于原点。如果Φ有一个特征值的绝对值大于l，则会有一个或两个状态发散。 2.3.3 状态空间模型的坐标系变换 在处理离散状态空间模型时，可以进行适当的坐标变换，使系统方程的形式简单。通常，可以变换成对角型或约当型的形式。 假设P是一个非奇异矩阵，并且定义新的状态向量z（k）=Px（k），则： 且 这样，状态空间表示变换为其它的形式，取决于所选择的坐标系。 定理2.1 特征方程的不变量 证： 证毕。 寻找一个变换矩阵，实际上等同从线性方程组： 中解出P的n2个元素。 当通过非奇异变换矩阵P来引入新的状态变量时，特征方程： 保持不变。 2.3.3.1 对角型 假设Φ具有相异的特征值，则存在矩阵P，使得： 成立。其中λi为矩阵Φ的特征值。这时，便得到一组解耦的一阶差分方程： 这样，上述方程组的解就很简单，每一种振型都具有如下形式： 例2.9 考察例2.7中的电动机，且T＝l，求离散状态空间模型。 解：使用变换矩阵： 可得： 2.3.3.2 约当型 若Φ具有多重特征值，无法对角化。设Φ为n×n阶，引入表示式： 其中，Lk为k×k的矩阵，于是存在矩阵P使得： （2.28） 式中k1+ k2+…+ kr＝n。λi为矩阵Φ的特征值，未必相异。方程（2.28）称作约当型。在约当型，矩阵在对角线上为特征值，在上对角线上有些是l。 2.3.4 脉冲传递函数矩阵 设线性离散系统的状态空间表达式为： 式中x（kT）是n×1维状态向量； u（kT）是m×1维输入向量； y（kT）是p×1维输出向量。 对上式作Z变换，可得： 当初始条件为零，即x（0）＝0时： 称Φc（z）为线性离散系统的脉冲传递矩阵（p×m维）。它反映了在初始静止的条件下，输出量的Z变换Y（z）与输入量的Z变换U（z）之间的关系。 单输入单输出系统，Φc（z）是1×1维矩阵，即为脉冲传递函数G（z）。 在线性连续系统中，用特征方程来表征系统的动态特性，同样在线性离散系统中引进之特征方程的概念来描述一个线性离散系统的动态特性。 设线性离散系统的状态方程为 对上式作Z变换，可得： 仿照线性连续系统令矩阵 的行列式 上式称为线性离散系统的特征方程。 2.3.5 线性离散系统的特征方程 2.4 极点和零点 单输入-单输出有限维系统，其极点和零点容易从脉冲传递函数的分子和分母中得到。 极点 对应于时间函数为 的系统的自由模式，它也是系统矩阵Ф的特征值。 零点与如何把输入和输出耦合成状态有关。 2.4.1 极点 对于如下n阶状态空间模型所描述的连续时间系统： 其极点就是矩阵A的特征值，把它记作λi（A），i＝l，…，n。对其进行零阶保持采样，即得如下离散时间系统： 离散系统的极点就是矩阵Ф的特征值，记作λi（Ф），i＝l，…，n。由于Ф＝exp（AT），根据矩阵函数的有关性质可以得到如下结果： 2.4.1.1 复s平面与复z平面之间的映射关系 复s平面到复z平面之间的映射关系，也就是连续时间系统的极点到对应离散时间系统的极点之间的映射关系。 s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内，s平面的虚轴映射到z平面单位圆周上。 保角变换z＝exp（sT） 2.4.1.2 s平面与z平面的多值对应关系 s平面到z平面之间的映射不是单值对应，而是s平面上的好几个点同时映射到z平面的同一个点上。对于图中的基带S0内部的极点，连续时间极点与离散时间极点存在简单的对应关系。 s平面左半平面的每条带都被映射到单位圆内，两个极点对p1和p2，双双被映照到极点对p上。 * 第2章 计算机控制系统的数学模型 主要内容? (1)输入输出模型 (2)状态空间模型 (3)极点与零点 (4)模型变换 2.1 概述 计算机控制系统是（或可近似为）线性离散系统； 研究一个系统，必须建立相应的数学模型，解决数学描述和分析工具的问题； 系统外部变量：输入u1，…um，输出y1，…yp； 系统内部变量：x1，…xn ，表征系统在每时刻所处状况，随时间的变化体现了系统的行为； 系统的数学模型：就是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学描