[数学]数学线性代数教案第四章4.pptVIP

向量空间的概念 向量空间的基与维数 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 思考题 思考题解答 ３．与方程组 有解等价的命题 线性方程组 有解 ４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． １．齐次线性方程组基础解系的求法 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形 * 线性代数——第 4章 §4 线性方程组的解的结构 齐次线性方程组解的性质 基础解系及其求法 小结、思考题 非齐次线性方程组解的性质 说明 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 定义6　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义8 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的 解，则 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １．基础解系的定义 ２．线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 合起来便得基础解系 说明 1．方程组的基础解系不唯一． 　　2．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 例2 证 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 例7 求解方程组 解 *