[数学]数学物理方程---3Bessel函数PPT.ppt

第二步 令 ，并代入到（3.3.5）式中得 解：第一步 记 ，并令 ，代入到（3.3.1）得 例3.11 在矩形域Ω={（x，y）|0xa,0yb}上求解问题 （3.3.1） （3.3.2） （3.3.3） （3.3.4） 由此可得 由边界条件（3.3.2）（3.3.3）得定解问题（3.3.1）—（3.3.4）的特征值问题为 （3.3.5） 第三步 将 代入到 中并求解得 （3.3.6） （3.3.7） 易见（3.3.6）的解为 将λn代入到（3.3.7）中，类似可得 将Xn（x）和Yk（y）相乘，便得（3.3.5）的特征值和特征函数分别为 将 ， 代入到（3.3.8）中便得（3.3.1）—（3.3.4）的解 根据叠加定理得 （3.3.8） 由初始条件（3.3.4）得 类似于一元函数傅里叶级数中系数求法得 例 3.13 求解如下定解问题 (3.3.18) (3.3.19) (3.3.20) 解 该定解问题中的偏微分方程为非齐次方程，可用以下两种方法求解。 方法1 选 满足(3.3.18)—(3.3.19),并作函数代换 将(3.3.18)齐次化。 为此考虑如下定解问题 为简单起见，设 从而 故上面定解问题转化为 (3.3.21) (3.3.21)中的微分方程是欧拉方程，直接求解可得其通解为 由边界条件 和 可得  故有 令 则定解问题(3.3.18)——(3.3.20)转化为 其中 定解问题(3.3.22)——(3.3.24)和例3.12中得定解问题(3.3.12)——(3.3.14)属同一类型，因而可用例3.12中的方法求解。 由例3.12已知该定解问题的特征值和特征函数分别为 将初始值 和方程的自由项A按特征函数系 展成傅里叶级数得 方法2 利用特征函数法直接求解定解问题(3.3.18)——(3.3.20) 其中 其中 令 并将其代入到(3.3.18)中得 由于 满足(3.3.16)中得方程，即 (3.3.26) 将(3.3.26)代入到(3.3.25)中得 比较(3.3.27)两边 的系数得 (3.3.28) 利用初始条件(3.3.20)得 (3.3.29) 结合(3.3.28)和(3.3.29)便得 满足如下定解问题 (3.3.30) (3.3.30)是一阶线性非齐次微分方程的初始值问题，易得其解为 注 在例3.12和例3.13中所使用的求解方法，也可用于求解圆域 上的二维波动方程的定解问题。在热传导问题中， 满足一阶线性常微分方程。而在波动传播问题中， 满足二阶线性常微分方程。除此之外，其余的求解过程大体相同。 将 代入到 的级数中得 (3.3.31) (3.3.31)便是定解问题(3.3.18)——(3.3.20)的解。 例 3.14 设有一半径为 a 高为h 的圆柱体，其下底和侧 面电位为零，上底电位为 ，试求圆柱体内的电位分布。 解 记 ，则圆柱体上电位 满足如下 定解问题 由于边界条件只与 有关，可推知 作柱面坐标变换 则上面定解问题转化为 令 并代入到 中可得 利用边界条件 和自然边界条件 可得特征值问题 求解 可得特征值和特征函数分别为 将 代入到 中并求解得 根据叠加定理令 由 得 由 得 直接计算可得 将 代入到 中， 最后可得 的解为 * A、B为任意常数， n为任意实数 性质1 有界性 性质2 奇偶性 三 贝塞尔函数的性质 当n为正整数时 性质3 递推性 例1 求下列微积分 性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 性质7 大宗量近似 性质8 正交性 贝塞尔函数 的模 例2：证明 的解为 四、 Bessel方程的特征值问题 前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子 ，带有不同边界条件下的特征值问题。而 ，相当于二阶线性微分算子 在一维的情形，当空间变量为 二维时，在直角坐标系下， .在极坐标下，直接计算 可得 二阶线性微分算子 在圆域上的特征值问题即为 边界条件为 Direclet边界条件，或者 Newumann边界条件. 下面利用分离变量法求解（1）. 令 ，并将其