2随机变量及其分布§2.4随机变量函数的分布幻灯片.pptVIP

* §2.4 随机变量函数的分布 在实际应用中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。 求截面面积 A = 的分布 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， * 方法：将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 问题： 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由X 的分布求出Y 的分布？ * 求: (1) Y=3X+2的分布律 (2) Y=(X?1)2的分布律 例1 设离散型随机变量X的分布律为 X ?1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 离散型随机变量函数的分布 * 解: (1) X分别取值?1, 0, 1, 2时 Y相应的取值互不相同: ?1, 2, 5, 8 故 P(Y= ?1) =P(X=-1)=0.2 P(Y=2)=P(X=0)=0.3 P(Y=5)=P(X=1)=0.1 P(Y=8)=P(X=2)=0.4 即Y的分布律为: Y ?1 2 5 8 P 0.2 0.3 0.1 0.4 * (2) Y的所有取值: 0, 1, 4 P(Y=0)=P(X=1)=0.1 P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7 P(Y=4)=P(X= ?1)=0.2 即 Y的分布律为: Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 * 一般,设离散型随机变量X的分布 律为: P(X=xk)=pk (k=1,2,…) 令 Y=g(X) 是一元单值实函数,则Y 也是一个离散型随机变量: 离散型随机变量函数分布一般求法 * 即 Y= g(X ) 如果 g(xk) 中有一些是相同的，那么把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量 Y =g(X) 的分布律。 * 连续型随机变量函数的分布 已知 随机变量 X 的密度函数 f(x) (或分布函数) 求 Y= g( X )的密度函数或分布函数。 方法： I 从分布函数出发(分布函数求导法) II 从密度函数出发(用公式) * 例2 设 X～N(0,1), 试求 Y=eX 的概率密度 解: (1) y0 (2) y≥0 FY (y)= P(Y≤y) =P(eX≤y) ?FY (y)=P(?)=0 ?fY (y)=F?Y (y)=0 ?FY (y)= P (X≤lny) * 本例用到变限的定积分的求导公式: * 例3 设 X 为连续型随机变量,其概率密度 为 fX(x),试求 X 的线性函数 Y=aX+b(a≠0) 的概率密度 解: (1) a0 ,得: FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y) * (2) a0 令 即 * 应用：设X ~ N (? ,?2)，Y = a X +b, 则 Y ~ N (a? +b, a2?2 ) 特别地，若X ~ N(? ,?2) 则有 * 方法II （用公式） 定理 设X 是一个连续型随机变量，其概率密度为fX(x).若y=g(x)为一严格单调函数，其反函数 x=h(y) 有连续导数，则Y=g(X )也是一个连续型随机变量，且概率密度为 其中 ?=min{g(??), g(+?)} , ?=max{g(??), g(+?)} * 其反函数为x= h(y) = lny . 注：当 fX(x) 在有限区间[a, b]之外取值为零时,只需假设在[a, b]上 g(x) 严格单调可导,则上述定理同样成立,此时 ? = min{g(a), g(b)} ? = max{g(a), g(b)} 另解例2: y = g(x) = ex 严格单调增且可导, * 则 即 * 解I：设Y 的分布函数为 FY(y) 例4 设 X ~ 求 Y = 2X +8 的概率密度. FY(y)=P{ Y≤y } = P (2X +8 ≤ y ) =P{ X } = FX ( ) 于是Y 的密度函数 * 所以可得 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 此时 * 解II： Y = 2X +8 严格单调递增且可导 * 例5 设X～N(0,1), 求 Y=X2 的概率密度 解I: y=x2在(??,+?)内不是单调函数 (1) y≤0 (2) y0 FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤