2第二章离散傅里叶变换2007章节幻灯片.pptVIP

（6）选频性 对复指数函数 ，进行采样得复序列 x(n)： 0≤n≤N-1 其中q为整数。当信号频率ω0=2π/N进行离散时，x（n）=ej2πnq/N,其离散傅里叶变换为： 写成闭解形式： 可见，当输入频率为qω0时，变换X(K)的N个值中只有 X(q)=N，其余皆为零。如果输入信号为若干个不同但正数倍频率的信号的组合，则经离散傅里叶变换后，在不同的k上，X(k)将会有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。 （7）DFT与Z变换 有限长序列可以进行z变换： 比较z变换与DFT变换，可见，当 z=w-kN 时， 即 图 DFT与z变换 o o o o o o o o o o o X（ejω） X(k) o Re[z] jIm[z] o 0 0 W Arg(Z)=2π/N 0 0.5fs fs f： Hz RAD DOT X(Z) N=12 是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。(顺时针分布) 1）X(k)也就是z变换在单位圆|z|=1上等间隔的采样值。 2）X(k)也可看作是对序列付氏变换X(ejω)的采样，采样间隔为： ωN=2π/N。 即 结论： 变量 周期 分辨率 数字域 模拟域 X（ejω） X(k) o 0 0 0 0.5fs fs f： Hz RAD DOT 采样定理指出：一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息； DFT变换进一步表明：对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这恰恰反映了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。 FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。 当x(n)= y(n)，表示有限长序列能量 （8）DFT形式下的Parseval定理 （能量不变） 在时间1秒，单位电阻上消耗的能量。 2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析 利用DFT计算连续信号的频谱，显然有3种误差：1、采样引入，2、截断，3、频率采样 采样 截短 DFT ? （1）混迭（aliasing） 对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样： 采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。 ? （2）? 泄漏（leakage） 处理实际信号序列 x(n)时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣(旁瓣)，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，频谱就是一个冲击函数。 我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。 例如，信号为 ，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数Sa进行卷积，原来在Ω0处的一根谱线变成了以Ω0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（Ωs）内只有一个频率点上有非零值，而现在 一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即 的频率成份从Ω0处“泄漏”到其它频率处去了。（频域能量总量不变，所以形式是“分摊开来”。） 考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱交迭（与采样原因不同）现象产生。 ?（3）栅栏效应 N点DFT是在数字频率区间 [0，2π] 上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是