高中数学知识要点重温之指数函数对数函数篇.DOCVIP

2011届高三数学精品复习之指数函数、对数函数 1．指数函数、对数函数的运算性质。特别关注：axbx=(ab)x,(ax)y=axy,如：2x3x=6x,(2x)=4x等；，（，）；，（,) [举例]设f(x)=4x+4-x-(21+x+21-x)+2则f(x)的最小值为 ； 解析：记2x+2-x =t,t≥2, 4x+4-x+2 =t2,g(t)= t2-2t=(t-1)2-1, 函数g(t)在[2，+上递增， ∴g(t)min = g(2)=0,即f(x)的最小值为0；注意：此题如果使用基本不等式，有：4x+4-x ≥2， 21+x+21-x ≥4，则f(x)=4x+4-x-(21+x+21-x)+2≥2-4+2=0，看似巧妙，结果也正确，其实荒唐，因为上述过程的实质是“同向不等式相减”。 2．指数函数y=ax与对数函数y=,()是互为反函数即它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。当a1时，两个函数在定义域内都递增；当0a1时，两个函数在定义域内都递减。 [举例1]光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板 块。（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771） 解析：记光线原来的强度为，透过一块玻璃板后其强度变为，透过块玻璃板后其强度变为：，则,即,(2lg3-1)-lg3≈10.4,(注意：2lg3-10),∴=11. [举例2] loga，则a的取值范围是（ ） （A）（0，）（1，+） （B）（，+） （C）（） （D）（0，）（，+） 解析：若a1，则a,∴a1；若0a1,则a, ∴0a；综上，选A。（本题中视1为logaa是化“数”为“对数”的通法）。 [巩固] 若，，则=__________。 [提高] 方程x+lgx=3,x+10x=3的解分别为x1,x2,则x1+x2=____________ 3．关注对数函数的定义域，特别是在解对数不等式（留意对数变形的等价性）和研究对数函数的单调性（函数有意义才谈得上增减）时。 [举例1]函数f(x)的图像与函数g(x)=()x的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x2)的单调减区间为（ ）[来源:学科网][来源:学#科#网]] （C）（-，1） （D）[1，2] 解析：f(x)与g(x)互为反函数，即f(x)=, f(2x-x2)= ,记h(x)=2x-x2, 则h(x)递增（“外层”递减）且h(x)0(真数)，∴x∈(0,1,故选A。（在函数定义域内区间的“开”“闭”不影响函数的单调性，所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”）。 [举例2]已知命题p：；命题q：1；则命题p是命题q的： （ ） A．充分不必要条件，B．必要不充分条件， C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 解析：命题p：，移项通分得：，“序轴标根”得：∈， 命题q：1等价于：2,即∈（注意：不等式1与不等式：21不等价，1等价于21）；从集合包含关系更容易看清两个命题的逻辑关系，选D。[来源:Zxxk.Com] [巩固]已知函数f(x)＝－＋＋∞y=的值域是（ ） （A）（-） （B）（-0）（0，+） （C）（-1，+） （D）（-，-1）（0，+） 解析：思路一：“逆求”：得：0或-1，选D。思路二：，“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若-10,则-1；若0,则0,综上，选D。 [举例2] .若logm9logn90,那么m,n满足的条件是（ ） （A）mn1 （B）nm1 （C）0nm1 （D）0mn1[来源:学科网][来源:Zxxk.Com] 解析：logm9与logn9底数不同，比较大小不甚方便，注意到logm9=，则由 logm9logn90log9nlog9m00nm1,选C。 [巩固] 已知g(x)=loga(a0且a1)在（-1，0）上有g(x)0，则f(x)=a是（ ） （A）在（-，0）上的增函数 （B）在（-，0）上的减函数 （C）在（-，-1）上的增函数 （D）在（-，-1）上的减函数 5．函数y=,()的值域主要取决于g(x)。如：0g(x)≤4,则∈[-2，+），其中0g(x)只是保证对数值存在的，并不限制对数值的范围。若g(x)无最（极）大值（即上无界），则函数y=,()的值域为R g(x)min≤0（特别地：当g(x)是二次项系数为正的二次函数时g(x)min≤0⊿≥0）； 函数y=有最值 g(x)min≥0。 [举例] 函数y=log(2x2-2x+1)的值域为 。 解析：2x