D1-3函数的极限D1-4无穷小和无穷大.pptVIP

第三节 1、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 左极限与右极限 例3. 设函数 2、自变量趋于无穷大时函数的极限 例4. 证明 两种特殊情况 : 二、函数极限的性质 极限的唯一性 局部保号性 局部有界性 保号性定理 定理 2 . 若在 第四节 无穷小与无穷大 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 无穷大 注意: 例5 . 证明 无穷小与无穷大的关系 第一章 二 、函数极限的性质 三 、无穷大与无穷小 一、函数极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 . 若 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) (P37定理3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 定义1. 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理7. 在自变量的同一变化过程中, 说