材料力学72第4章平面图形的几何性质1.pptVIP

第 4 章 平面图形的几何性质 2学时 §4.1 静矩、形心及其相互关系 一、静矩的概念 §4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §4.3 平行移轴公式 §4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 §4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩 对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定： 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。 z y z y 截面几何性质小结 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系。 2. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关。 3. 对形心轴静矩为0，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形心 主惯性轴。 4. 平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。 5. 主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一； 主形心惯性矩一个为最大，一个为最小。 作业 p56：4.2（a）； 4.5（a，d） 授课教师： 韩志型 土建学院力学教研室 Tel hzx_eml@126.com 第4章 平面图形的几何性质 §4.1 静矩、形心及其相互关系 §4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §4.3 平行移轴公式 §4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 §4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩 ? 研究截面几何性质的意义 应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩IP、惯性矩Iz等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。 另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。 z y dA y z 静矩是面积与它到轴的距离之积。 平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。 图形对于 y 轴的静矩： 图形对于 z 轴的静矩： 二、平面图形的形心 定义：形心即是图形几何形状的中心。 形心的位置只与平面图形的几何形状、尺寸有关。 (1)　图形具有一根对称轴，则形心在此对称轴上； (2)　图形有两根对称轴，则形心在两对称轴的交点； (3)　三角形平面图形，其形心在三角形的三根中线的交点上，距各边相应高度的1／3处。 平面图形的形心坐标 dA z y y z c 当微面积△Aｉ→0时，则用积分法求形心坐标： 三、 形心与静矩的关系 dA z y y z c 平面图形对z 轴（或 y 轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或 zC ）的乘积。 三、 形心与静矩的关系 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。通过平面图形形心的轴称为形心轴。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。 ? 已知静矩可以确定图形的形心坐标 ? 已知图形的形心坐标可以确定静矩 z y C 组合图形：由若干个简单图形（矩形、三角形、圆等）组成的平面图形即组合图形。 组合图形对z 轴（或 y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即 式中 yC i 、zC i 及Ai 分别为各简单图形的形心坐标和面积; n为组成组合图形的简单图形的个数。 组合图形形心坐标的计算公式 四、组合图形的静矩和形心 例1 试计算如图所示的平面图形对z和y的静矩，并求该图形的形心位置。 80 120 10 10 z y C1 C2 解 将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 矩形Ⅰ 矩形Ⅱ A1=10×120mm2=1200mm2 A2=70×10mm2=700mm2 该平面图形对z轴和y轴的静矩分别为 求得该平面图形的形心坐标为 80 120 10 10 z y C1 C2 A1=1200mm2 A2=700mm2 另解：用负面积法求解。将平面图形看作由大矩形Ⅰ减去矩形Ⅱ组成。 矩形Ⅰ: 矩形Ⅱ: A1=80×120=9600mm2 A2= －70×110mm2= －7700m