人教A版高中数学选修1-1课件：第三章 章末小结(共88张PPT).pptx

第三章章末小结1.导数的概念:对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Δx,那么函数y相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),其中比值叫作函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率.当Δx→0时,有极限,就说y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫作f(x) 在点x0的导数(瞬时变化率),记作f(x0)或y.当x变化时,f(x)便是x的一个函数,称之为f(x)的导函数(简称导数),记f(x)=y=.2.用定义求导数的一般步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x);(2) 求平均变化率; (3)取极限,得导数f(x)=.3.导数的几何意义:f(x0)是曲线y=f(x)在点P(x0,f (x0))处的切线的斜率,即k=f(x0).4.几种常见函数的导数:C=0,(xn)=nxn-1,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x,(ex)=ex,(ax)=axln a,(ln x)=,(logax)=.5.导数的四则运算:若y=f(x),y=g(x) 的导数存在,则[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x),[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x),[]=.6.函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在开区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数在这个区间内单调递增,如果f(x)0,那么函数在这个区间内单调递减.求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤:(1)求f(x);(2)解不等式f(x)0(或f(x)0);(3)确认并写出单调区间.7.极值: 设函数f(x)在x0附近有定义,若对x0附近所有的x都有f(x) f (x0),则称f (x0)是f(x)的一个极大值;若对x0附近所有的x都有f(x) f (x0),则称f (x0)是f(x)的一个极小值.可导函数在点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.8.求函数y=f(x) 极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导函数;(3)解不等式f(x)0(或f(x)0),顺次将函数的定义域分成若干小开区间;(4)判断f(x)=0的根的两侧f(x)的符号,确定是否为极大值、极小值.9.在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值和最小值.求在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤:(1)求出函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值和f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.　 题型一:导数的运算问题求下列函数的导数.(1)y=ex·ln x;(2)y=x(x2++);(3)y=xcos x-sin x.【方法指导】利用导数公式和导数运算法则求导.【解析】(1)y=(ex·ln x)=exln x+ex·=ex(ln x+).(2)因为y=x3+1+,所以y=3x2-.(3)y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.【小结】利用导数公式和导数运算法则求导,运算时要特别注意法则、公式的选择、符号、系数等问题,还要养成规范格式以及及时检查的好习惯. 题型二:导数与切线问题已知曲线f(x)=5.求:(1)该曲线与直线y=2x-4平行的切线的方程;(2)过点P(0,5)且与曲线相切的直线方程.【方法指导】设出切点坐标,求出导数后利用导数的几何意义列出方程解出切点坐标,再写出切线的点斜式方程.【解析】(1)设切点为(x0,y0),由f(x)=5,得f(x0)=.∵切线与y=2x-4平行,∴=2,∴x0=,∴y0=.故所求切线的方程为y-=2(x-),即16x-8y+25=0.(2)∵点P(0,5)不在曲线f(x)=5上,∴设切点坐标M(m,n),则切线斜率为.又切线的斜率为,∴==,∴2m-2=m,解得m=4.∴切点为M(4,10),切线的斜率为.∴切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.【小结】注意区别“在点P处”求切线和“过点P”求切线的不同,后者点P不一定是切点,要先设出切点再求解. 题型三:利用导数研究函数的单调性和单调区间 已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.【方法指导】先由函数y=ax与y=-的单调性确定a,b的取值范围,再根据a,b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.【解析】∵函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a0,b0.由y=ax3+bx2+5,得y=3ax2+2bx.令y0,得-x0;令y0,得x-或x0,∴函数y=ax3+bx+5的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(-∞,-)和(0,+∞).【小结】本题求解的关键是先从两个函数的单调性确定a,b的取值范围,再用导数方法求函数的单调区间.　 题型四: