1-1行列式及其性质-m.pptVIP

卫淑芝 上海交通大学数学系 办公室：数学楼2501 电话2501 Email: szwei@sjtu.edu.cn 教材：线性代数 （ 冯卫国 等）科学出版社 1. 线性代数 习题与精解（ 上海交通大学数学系） 上海交通大学出版社 参考书： 2. 线性代数 试卷剖析（ 上海交通大学数学系） 上海交通大学出版社 3. 线性代数 复习指导（ 北京大学数学科学学院） 机械工业出版社 4. 大学代数（ 陆少华， 沈颢） 上海交通大学出版社 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 三阶行列式 二阶行列式 （1）二阶行列式共有 2项，即 2! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积． 二阶行列式与三阶行列式 排列及其逆序数 定义 把1,2,…,n组成的一个有序数组 称为一个 n 阶排列 多少个？ 常用 记n阶排列. 其中 表示 1 ,2,…, n 中的某个数，k 表示这个数在排列中的位置. 称作一个数对. 若 称这两个数构成顺序. 若 称这两个数构成逆序. 排列的逆序数 排列中逆序的总数 我们规定由小到大为标准次序. 记 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 则 计算排列逆序数？ 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性： 性质1：把排列中的某两个数的位置交换， 排列的奇偶性改变. 性质2：全部n 阶排列中(n≥2)奇偶排列 各占一半 的学习 n阶行列式的定义 定义 有n2 个元素排成 n 行 n 列，称 为n 阶行列式，它等于所有的取自不同的行、 不同的列的n 个元素乘积的代数和. 即 其中 是1,2,…,n 的一个排列. 常记为：D 或 特殊行列式的计算： 例 计算上三角行列式 同理可得下三角行列式 例 对角行列式 行列式的等价定义 注意下式： 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 行列式的性质 说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 证明 按定义 又因为行列式D可表示为 故 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 是由行列式 变换 两行得到的, 于是 则有 即当 时, 当 时, t1为排列 的逆序数 故 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 应用举例 解