【全国百强校】北京市第四中学2017年九年级数学同步学案（无答案）：第二十一章一元二次方程 03一元二次方程的解法（三）公式法和因式分解法.docVIP

一元二次方程的解法（三） 公式法和因式分解法 北京四中 董萍 复习： 1．直接开平方法： 2．配方法： 为少犯配方时计算错误，一般这样配方， 例如：用配方法解方程： 把二次项系数化为1，得： 把常数项移到等号的右边： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： 配方，计算要准确： 两边开平方： 移项： 正确写出原方程的解： 一、求根公式法 探索：我们来解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 解：因为a≠0，方程两边都除以a，得 ． 移项，得． 配方，得， 即． 因为a≠0，所以4＞0， 当＜0时，方程无实数根； 当≥0时，直接开平方，得 ． 所以， 即． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 法2：4 a2x2＋4abx＋4ac＝0 ＋2·2ax·b＋b2＝b2-4ac (2ax+b)2= b2-4ac 由以上研究的结果，得到了一元二次方程a＋bx＋c＝0的求根公式：　 ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得 方程的根．这种解方程的方法叫做公式法． 例1：用公式法解方程 练习：用公式法解方程：（1）； （2）； （3）． 例2：解关于的方程； 练习：解关于的方程； 小结： 公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与 系数的关系， （1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数 a、b、c； （2）先求出的值，若，则代入公式 ． 若，则 ； 例3：解方程： 二、因式分解法 依据：（A、B至少一个为0） 先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一 次式分别等于0，从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学 过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意： （不确定A、B的值）． 例4：用因式分解法求解下列方程： （1） (2) ． （3）； （4）； 练习： （1）； （2）； 例5： 总结： 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不 为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0 (a≠0） 2．一元二次方程的解法： （1） 直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法 （2） 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一 元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一 般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项， 即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边 都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式； ⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程 无解． （3） 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是 通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)，步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的 解，当b2－4ac0时方程无实根。 （4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因 式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法 的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘 积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方 程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含 有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中， 当k=±1时就是一元一次方程了． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的 一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0， 则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解． ⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4） 中，不能随便约去（x＋4） ⑷ 注意解一元二次方程时一般不