分析04-矩阵的特征值.ppt

第章 第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算 第九章 矩阵的特征值与特征向量的计算 第九章 矩阵的特征值与特征向量的计算概述 构造向量序列 求出最大的特征值?1 求出最大的特征值?1（续1） 几 点 注 释 几 点 注 释 （续） 算法4.1 例 题1 例 题1（续1） 例 题1（续2） 两 点 注 释 两 点 注 释（续1） 两 点 注 释（续2） 两 点 注 释（续3） 1.2 幂法的加速：原点移位法 ?0的估计 例 题 2 例 题 2（续1） 例 题 2（续2） 2. 幂法的埃特肯（Aitken）加速 埃特肯（Aitken）加速（续） 算 法 4.2 例 题 3 例 题 3（续1） 例 题 3（续2） 例 题 3（续3） 例 题 3（续4） 1.3 反幂法 反幂法（续1） 反幂法（续 2） 注3 带原点移位的反幂法 算 法 4.3（续） 注 4 例4（续 1） 例4（续 2） 例4（续 3） §2 Jacobi方法序 Jacobi方法序（续1） Jacobi方法序（续2） 2.1平面旋转变换 平面旋转变换（续1） 平面旋转变换（续2） 平 面 旋 转 变 换（例5） 平面旋转变换例5（续1） 平面旋转变换例5（续2） 平面旋转变换例5（续3） 平面旋转变换例5（续4） 平面旋转变换例5（续5） Jacob法 Jacob法（续1） Jacob法（续2） Jacob法（续3） Jacob法（续4） Jacob法（续5） Jacob法（续6） 古典Jacob法 古典Jacob法（续1） 古典Jacob法（续2） 古典Jacob法（续3） 两 点 说 明 两 点 说 明（续） 例 6（续1） 例 6（续2） 例 6（续3） 古典Jacobi法一种改进 §3 QR方法 QR方法（续1） QR方法（续2） QR方法（续3） 例 7 例 7（续1） 例 7（续2） 3.2豪斯豪尔德（Householder）变换 定理9-2 定理9-2（续1） 定理9-2（续2） 定理9-2（续3） 9.3 化一般矩阵为拟上三角阵 化一般矩阵为拟上三角阵（续1） 化一般矩阵为拟上三角阵（续2） 化一般矩阵为拟上三角阵（续3） 例8 （续1） 例8 （续2） 3.4拟上三角矩阵的QR分解 拟上三角矩阵的QR分解（续1） 拟上三角矩阵的QR分解（续2） 拟上三角矩阵的QR分解（续3） 拟上三角矩阵的QR分解（续4） 例 9 例 9（续1） 例 9（续2） 例 9（续3） 例 9（续4） 3.5 带原点移位的QR方法 带原点移位的QR方法（续1） 带原点移位的QR方法（续2） 第四章 结 束 取 于是 再取 定理4.1表明，古典Jacobi法是收敛的，进一步分析还可以得出Jacobi法收敛较快。另外，这种方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精度高，且所求得的特征向量正交性很好。它的不足之处是运算量大，且不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性），因此Jacobi法是求中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向量的较好方法。 在实际计算中还可采用一些措施来提高精度和节省工作量。 1? 减少舍入误差的影响。从公式中可知，具体计算时只需用到sin? , cos?的值，为了提高精度，舍入误差越小越好。常常利用三角函数之间的关系，写成便于计算的公式 即得 （4-21） 2? 节省工作时间。在雅可比法中，每次变换是把非对角元绝对值最大者化为零，但在n阶矩阵中要去寻找这个最大元素要花较多的机器时间，所以一般不选最大元。改进的一种方法是设某些“关口”，如a1,a2,…,ak，先按次序用aij(i?j,j =1,2,…,n)与a比较，若 ，则通过不加运算， 若 ，就进行一次旋转变换，使之化为0，一遍轮流过以后，再用a2来比较，作同样处理，直至达到所需精度为止，这种方法称为雅可比过关法。 例6 用Jacobi方法求下列矩阵的特征值。 下面应取i=2, j=3，重复上述过程。如此继续下去，可得： 所以A的特征值为： 与其准确值 比较，最大误差为0.0002036。 古典Jacobi法在计算每个旋转矩阵V(k)前都需要对 个非对角元素进行比较， 从中找出绝对值最大的元素。 为减少运算量常用的一种改进方法是取定正{?k },?k?0 (k??)，以 ?k 为限，逐行检查非