数列的性质31.docVIP

等差数列、等比数列的性质运用 白云中学数学组 詹 娟 高考要求 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题递推公式数列的等差等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题 1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数 3等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式 4等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 5等差中项公式：A= （有唯一的值） 6等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 7等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 8等比中项公式：G= （ab0，有两个值） 9等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列 10等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 11等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 12等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外） 13两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 14两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列 15等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 题型讲解 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0) 根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d), 解得 所以 例2 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn为正数, 由②得 , 代入①并同除以得: , ∴ 为等差数列 ∵ b1 = 2 , a2 = 3 , , ∴ , ∴当n≥2时,, 又a1 = 1,当n = 1时成立, ∴ 例3在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q 解：∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an-1 由a1·an=128 ， a1+an=66 且 a1最小 得a1=2 ，an=64 解得 解得n=6, ∴n=6,q=2 例4 已知数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和 分析{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径 解(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a (根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) ∴a-2a=2(a-2a)， 又b=a-2a，所以b=2b　　　 已知S=4a+2a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 由和得，数列{b}3，公比为2的等比数列，故b=3·2 当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2 项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式 小结： 1 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法 2列举一些项来判断“关系”和“性质