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作者： 指导教师： 矩阵的正定性研究 摘要 代数学是数学中一个重要的基础分支，而正定矩阵又是高等代数的重中之重，特别是正定矩阵部分的应用很广泛。正定矩阵是计算数学，数学物理，控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类。 本文对一般矩阵给出了正定性的定义，推广了正定矩阵的一些结果，总结了矩阵正定性的若干充要条件。 并且研究了正定矩阵的一些性质。 目录 1 引言 2 正定矩阵定义的发展 3 正定矩阵的充要条件 4 相关引理 5 主要定理及其证明 6 结论 1引言 历史上，矩阵的正定性研究一开始仅限于对实对称矩阵而言，人们对实对称矩阵的正定性作了很多深刻的研究，这些研究在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了广泛的应用.随着数学本身的发展和其他应用矩阵的学科的发展需要，有不少学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。1970年，C.R Johnson第一次对一般实矩阵给出了正定性的定义。后来佟文延，夏长富，杨仕椿等又进一步推广了正定矩阵的定义，提出了广义正定矩阵概念。随着正定矩阵的发展，其应用也越来越广泛。 正定矩阵定义的发展 1970年，C.R Johnson给出了正定矩阵较为广义的定义：设 ,如果 ，都有 ，则称 为正定矩阵。 1984年，佟文延把正定矩阵推广为： 设 ,如果 都有正对角矩阵 使得 ，则称为广义的正定矩阵 。 1988年，夏长富把这种正定矩阵进行了进一步的推广如下 ： 设 ，若 都存在 ，使得 ，则 称为广义的正定矩阵。 2005年，杨仕椿，吴文权又进一步推广了广义正定矩阵： 设 ，若 都存在 ，使得 ，则 称为更广义的正定矩阵。 正定矩阵的充要条件 判定一个矩阵是否正定矩阵除了用定义以外还可以运一些等价定理，下面给出一些判定矩阵正定的充要条件。 设 是 阶实对称矩阵 ，则 为正定的充要条件是 ： 1. 合同于单位矩阵 。 2.存在满秩阵 ，使得 成立。 3. 个特征值全为正值 。 4. 的的所有顺序主子式大于零 。 5.存在对称正定阵 ，使得 引理1 是 阶矩阵， 是 的转置矩阵， 是 的特征值， 与 分别是 和 对应与 的特征向量， 为 的 行行和， 为 的 列列和。则 引理2 设 是正数， 是任意的实数，则 当且仅当所有的比值 相等时取等号。 定理1 设 是非负不可约矩阵 的谱半径， 分别为 的 行行和与 列列和,且 （ 是单位矩阵）， 则任意的正整数 ,有 (1) (2) 定理1的证明 证明 设