一元二次方程综合培优.docVIP

一元二次方程综合培优 一、温故而知新 1、对下列各式进行配方： ⑴； ⑵ 2.设a、b为实数,求a2+2ab+b2－4b+5的最小值a＝ ，b＝ 。 3.已知关于x的一元二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是–2，那么k=____. 4.已知α，β是方程的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________. 5.在关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, ____________叫做一元二次方程的根的判别式.记作：Δ. (1)b2－4ac0 方程有两个_________的实数根. (2)b2－4ac=0 方程有两个_______的实数根. (3)b2－4ac0 方程________实数根. (4)b2－4ac≥0 方程___________两个实数根. 6.判别式只能对一元二次方程使用，因此使用判别式解题的前提是：二次项系数a≠___ _. 7.求判别式的值，必须先把方程化为一元二次方程的______形式.即 。 8.已知、、为任意实数，则方程的根的情况是 。 9、关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x+m+1=0,m取什么值时: (1)有两个不相等的实数根?(2)有两个实数根?(3)无实数根?(4)有两个相等的实数根?（5）只有一个实数根？ 10. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)有两个实数根x1和x2,那么x1+x2=______,x1x2=_____. 11.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用， x1+x2 = -，x1x2= 成立的条件是：a_ __,Δ_____. 12.根据乘法公式填空:(1)x12+x22=(x1+x2)2－______；(2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－_______； （3）；(4). 丨x1-x2丨=. 13.已知方程2x2+(8k+1)x+8k2=0的两个根互为倒数，则k=_______。.若方程(m-7)x2-（m-1）x+1=0的两个根异号，则m的取值范围是__________. 15. 以两个数x1和x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________. 16.以和为根的整系数一元二次方程是_________________. 17．若一元二次方程(二次项系数为1)的两根之比是3∶4，且Δ＝4，则这个一元二次方程是_________________. 18．如果方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1和x2,那么二次三项式ax2+bx+c分解因式的结果是:ax2+bx+c=__________. 19.在实数范围内分解因式：(x2+x)2-2x(x+1)-3= ______________________. 二、培优讲解 1、求下列代数式的最大或最小值： ①2x2+10x+1 ； ②－x2+x-1. 2、解下列方程： ①x4－x2+2xy+y2+1=0 ； 　②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 3、（1）求方程　x2+y2-4x+10y+16=0的整数解； （2）求方程的实数解。 4、已知：a,　b,　c,　d 都是整数且m=a2+b2, 　n=c2+d2,　则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.　　　 5、已知关于的方程， (1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 6、设a、b、c是ΔABC的三边的长,且关于x的方程(c－b)x2+2(b－a)x+a－b=0有两个相等的实数根,试判定ΔABC的形状. 7、实数x、y满足方程，求y的最大值。 8、m为给定的有理数,k为何值时,方程x2+4(1-m)x+3m2-2m+4k=0的根总为有理数? 9、当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 10、若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值． 11、求作一个一元二次方程，使得它的两根分别是方程的两根的平方． 设，且，求代数式的值． ．已知a、b是方程两根，试求的值的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH，试求的取值范围． 15、已知实数a、b、c满足a＋b＋c=0，abc=2．a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值． 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值 ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根． (1)当m＝2和m2时，四边形A