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有阻力的抛体运动的函数方程 摘要:本文运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的斜抛运动的微分方程，得出各变量间的函数关系，其中还运用了一些简单的物理知识，并通过求极限顺便得出有阻力的竖直上抛，竖直下抛运动和无阻力抛体运动的一些基本函数方程，然后讨论斜上抛运动水平最远射程与抛射角的关系问题，最后取一组简单的数据进行定量计算。 关键词:有阻力;函数方程; 在研究抛体运动前，先简单说明微分方程的概念和基本解法。⑴一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。 在这里，只讨论一类较特殊的微分方程： ① ①式可分离变量得： ② ②式表示状态量，对两边各状态量累加求和 得： 由定积分与微分的和的极限的关系，可将上式改写为 ③，其中 由③式可解出y与x满足的方程，③式也可写成不定积分的形式 ④，其中C为常数，依赖于初值条件。 下面研究问题时就不再像上述一样清晰了，且不常用③式而常用④式.再给出曲线的曲率半径的求法。⑴ 对于曲线y=Y(x)，为曲线的切线斜率的反正切值，即⑤ ⑥ 现在开始正式讨论问题：一质量为m的物体，初距水平地面高为h，以V0的速率沿与水平方向夹角为的方向抛出，重力加速度为g，所受空气阻力f大小为k·V，(k0，且为常数)方向与速度方向相反，求此抛体运动中各变量间的函数方程。 过物体初始位置，垂直地面向上建立y轴，过y轴与地面交点建x轴，使物体运动轨迹在xoy平面的第一象限内，即右图。 分析问题可知，四个变量：横坐标x，纵坐标y，速率v，时间t中任两个量都可建立函数方程。 ⅰ 研究物体运动轨迹(设x是自变量，v、y是x的函数)。 分析物体受力，可知重力沿曲线的法线分力提供物体沿曲线运动的向心力，即 ⑦ 将⑤、⑥两式代入⑦式中，解得： ⑧ ⑧式两边对x求导： ⑨ 又由能量守恒定律得： ⑩ 由被积函数与原函数的关系可知： ∴⑩式两边对x求导得： 将⑧、⑨两式代入式化简后得： 分离变量后积分： 解得： 考虑初始条件：当x=0时，由⑧式得 将式代入式中得： 将C2的值代回式，化简后得： 同理可再分离变量积分后代初值，得： 同样可求得：（I） （2）研究水平方向（设t为自变量，v、x、y、cosθ都是t的函数） 由运动的独立性原则，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分运动的加速度，速度v的水平分量为水平分运动的速度。 则有： 令 则式改写为 分离变量求积分： 解得 将式代入式中得： ∵当t=0时， 将C3的值代入得： 将⑤、⑧两式代入经化简后得： 再将式代入得 解得： （II） 由（II）式可知x随自变量t的增大而增大，若不限高度h，则t→+时，，并且x恒小于。将（II）代入（I）式中化简后得： （III） 将 、 式代入⑧化简得： (IV) 再将（II）式代入（IV）式中得： （V） 至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五个有阻力抛体运动的基本函数方程，下面再求出物体能达到的最高处 当时，由式解得： 将式代入（I）得：(VI) (3)在上述讨论中，所得出的方程都是在一般条件下得到的，接下来顺便导出特殊运动的函数方程，因为上述各式中，因此不能直接导出，下面通过求极限的方法得出三类特殊运动的方程。 (a)竖直上抛运动 当时，由（III）知： 由正弦函数的连续性可知： 同理，由（V）得： 若考虑速度v向上为正，向下为负，则可得： 由（VI）得 (b)竖直下抛运动 同样，当时，由（III）求极限得： 由（V）式求极限得 由式知道，若，则v恒大于，阻力恒大于重力，且随时间增大而趋近。 若，则v恒小于，阻力恒小于重力，随时间增大而趋于相等。 (c)无阻力抛体运动 当k→0时，由（I）式得： 因为k→0时，，同时用洛必达法则求极限[1]，将被求根限式的分子、分母对k求导，得 化简得： 由（II）求极限 由导数的定义得 将式代入式中得 当然，上面三类运动的方程可直接分析原运动，且那样更能简单得出方程，这里只是顺便导出。 （4）接着讨论一个实用的问题：当初始抛角为何值时，水平射程最远。 首先，我们知道，当取时，不可能取到最大水平射程，更不可能。 在（I）中取y=0，则有 设m、g、k、v