数学归纳法(高三学案).docVIP

数学归纳法复习学案 1、用数学归纳法证明命题的步骤为: ①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础; ②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据. 结论. 2、探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）：观察,归纳,猜想,推理论证. 3、特别注意： (1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时项的变化 （1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形； （3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 题型一：对数学归纳法的两个步骤的认识 1、已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 [解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 2、用数学归纳法证明不等式 的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 [解析]求即可 当 n=k时，左边， n=k+1时，左边, 故左边增加的式子是，即 题型二、证明代数恒等式 1、已知,证明:. 1.证明:用数学归纳法证明. (1)当时,左边=,右边,等式成立; (2)假设当时等式成立,即有: . 那么当时, 左边= =右边; 所以当时等式也成立. 综合(1)(2)知对一切,等式都成立. 思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当时向目标式靠拢是关键. 变式：是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论。 【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 [解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得， 猜想：等式对一切都成立 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设n=k时等式成立，即则 所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对等式都成立 【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 题型三、证明不等式 1. 用数学归纳法证明下述不等式； 分析：一般与自然数n有关的不等式问题可以应用数学归纳法来证明，证明过程中特别要主要项的变化. 证明: 当n=2时，左边， ∴当n=2时，不等式正确； . 假设当不等式正确，即， ∴当时，左边 ， ∴当时不等式也正确； 根据知对，且，不等式都正确. 点评：在的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难度，不过必须注意，不是所有的与正整数n有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功. 2. 求证：（） 2.证：① 时 左右 ② 假设时 成立 即： 当时 左 即：命题成立 综上所述 由①②对一切命题成立. 题型四、证明整除问题 在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数n有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决. 1、用数学归纳法证明：能被6 整除. 分析：对于多项式A、B,如果A=BC，C也是多项式，那么A能被B整除，若A与B均能被C整除，则A+B,A-B也能被C整除. 证明：.1.时，13+5×1=6能被6整除，命题正确； . 假设时命题正确，即能被6整除， ∴当时， ， ∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除， 能被6整除，即当时命题也正确， 由知命题时都正确. 点评：用数学归纳法证明整除问题，在的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分. 题型五、证明函数内比较大小 1、设f(k)满足不等式的自然数x的个数 （1）求f(k)的解析式； （2）记，求的解析式； （3）令，试比较与的大小。 1.解：（1）原不等式 （2） （3） n=1时，；n=2时， n=3时，；n=4时， n=5时，；n=6时， 猜想：时下面用数学归纳法给出证明 当n=5时，，已证 （2）假设时结论