自考高等数学一元函数积分学精选.pdfVIP

第 五 章 一元函数积分学（二） 下面为第六节 Ⅳ第二换元积分法 作换元 ，则 得 当左边积分 计算比较困难，然而右边的积分却比较容易计算时，我们可以用 上边的公式将一个难计算的不定积分变为较易计算的积分。 上面方框内的公式叫第二换元积分公式，用第二换元积分公式计算不定积分的方法 叫第二换元积分法。 用第二换元积分法计算不定积分的常见情形有下面四种： （1）当被积函数 中含有根式 ，可令 直接将根式有理化。 （2）当被积函数 中含有根式 时，可令x=asinx 将根式变为三角函数的有 理式。 （3）当被积函数 中含有根式 时，可令x=atant 将根式 变为三角函 数的有理式。 （4）当被积函数 中含有根式 时，可令x=asect 将根式 变为三角函 数的有理式。 典型例题 例一 求下列不定积分 例二 求下列不定积分 根据三角函数的定义 根据 ，我们可以画出它所在的三角形为图示 例三 计算不定积分 由右图所示的直角三角形知： 由右图所示直角三角形知 下面是第七节 例四 求不定积分 根据右图所示的直角三角形知： 由右图所示直角三角形知 例五 计算不定积分 Ⅴ分部积分公式 由导数的乘法公式 两边积分 得 或 上面的积分公式叫分部积分公式，用分部积分公式计算不定积分的方法叫分部积分 法。在分部积分公式中有时左边的积分困难，而后边的积分容易，则有机会将一个复杂 的积分变为较易的积分计算。 能用分部积分公式将一个复杂的积分变为较易的积分的常见情形有下面几种： 典型例题 例一：求下列不定积分 分部积分公式可以多次使用。 在上面的例题中，用到微分公式 请同学们有意识记住 例二：计算下列的不定积分 本题的结果 学员可以作为公式使用。例为 当a=0时有 例三：计算不定积分 移项：合并同类项 得 ② 移项，合并同类项 得 一般地，如果被积函数是下面的初等函数的乘积： 第一位：反三角函数，对数函数； 第二位：幂函数； 第三位：三角函数，指数函数； u 大家可以将乘积中的两个函数按上面次序前者选作 ，后面的选作 。 有些积分，可能既要用分部积分法，还要用换元积分法综合计算，请同学们看下面 的例题 例四 求不定积分 解：我们多次计算过 由积分公式 也有上面结果，所以 移项后合并同类项 得 移项，合并同类项 得 Ⅵ微分方程初步 1 （ ）基本概念 ①含有未知函数 的导数 的等式 或 ，叫一阶微分方 程。例如等式 ， 等等都是微分方程。 ②若将一个确定的己知函数 代入微分方程 中，使得 则函数 叫微分方程 的解。 在一阶微分方程的解中含有任意常数C，则这种解叫通解（全体解、全部解）；在 微分方程的解中没有任意常数C，则这种解叫特解。 例如： 代入微分方程 中有： 是微分方程 的解，而且