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第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 知识点精析 1. 空间向量 在空间中我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 2. 空间向量的加法和数乘向量的运算规律 (1)加法交换律：a+b=b+a 。 (2)加法结合律：（a+b ）+c=a+ （b+c ）。 (3)数乘分配率：λ （a+b ）=λa+λb （λ∈R ） 3. 共线向量和共勉向量 (1)共线向量和平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合，则称这些向量叫做共线向量或平行向量。若 a 平行于 b ，则记作 a ∥b 。 (2)共线向量定理：多空间任意两个向量 a、b （b ≠0 ），则 a ∥b 充要条件是 存在实数λ，使 a=λb 。 推论：如果 L 为经过已知点 A 且平行于已知向量 a 的直线，那么对任一点 O， 点 P 在直线 L 上的充要条件是存在一个实数 t 满足关系式：OP=OA+ta 或在 L 上 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 取AB =a，则OP = OA +t AB 或OA + （1-t）OA +t OB 。以上称为空间直线的向量 的参数方程。 P a B A P A M B O 图3.1-1 O 图3.1-2 (3)共面向量：通常我们把平行于同一个平面的向量叫做共面向量。 uuur 共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量MP 与向量 a、b 共面的 充要条件是存在有序实数对（x ，y ），使P=xa+yb 。 推论 1：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是：存在有序实数对（x ，y ）， uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur 使MP =x MA +y MB 或对空间任一点 O，有OP = OM +x MA +y MB . 推论 2 ：对空间任一点 O 和不共线的三点 A 、B 、C 满足向量关系式： uuur uuur uuur uuur OP =x OA +y OB +z OC （其中x+yz=1 ），则四点P 、A 、B 、C 共面。 4. 空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a、b 、c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在唯一的 有序实数组 x 、y 、z ，使p=xa+yb+zc 。 如果三个向量 a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合是 p ∣ p=xa+yb+zc ，x ，y ，z ∈R 。这个集合可看做是由向量 a、b 、c 生成的。所以我 们把∣a、b、c ∣叫做空间的一个基底，a、b、c 都叫做基向量。（x，y，z）叫 做 p 对∣a、b、c∣下的坐标。 1 推论 3 ：设 O、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点 p ，都处在唯一 uuur uuur uuur uuur 的有序实数组x 、y 、z ，使OP =x OA +y OB +z OC 。 推论4 ：如果三个不共面的向量a、b 、c 满足等式k1a+k2b+k3c=0 ，则k1=k2=k3=0, 。 5. 两个向量的数量积 (1)空间两个向量的夹角