C2 平面问题的基本理论4.pptVIP

例 两端固定的一维杆件只受重力作用, 。试用位移法求解。 l o y x 解: 则位移 l o y x 按位移求解, 位移应满足式(1), (2)。代入式(1), 第一式自然满足, 第二式成为 l o y x 解得 在 处, 代入v, 并求出形变和应力 l o y x * * * * * * * * * §2-7 圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力, 变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同, 对于同一点的主矩也相同), 那么, 近处的应力分布将有显著的改变, 但是远处所受的影响可以不计。 (a) (b) (c) 设有柱形构件, 在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。 如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力, 只有虚线划出部分的应力分布有显著的改变, 而其余部分所受的影响是可以不计的。 (a) (b) (c) (d) 或者将两端的拉力变换为均匀分布的拉力, 集度等于P/A, 其中A为杆件的横截面面积, 仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。 (a) (b) (c) (d) (e) 如果将右端完全固定(图e), 仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。 (a) (b) (c) (d) (e) 在上述五种情况下, 离开两端较远部分的应力分布, 并没有显著的差别。 注意: 应用圣维南原理, 绝不能离开“静力等效”的条件。 圣维南原理在小边界上的应用: 如图, 考虑x = l小边界, 上式是函数方程, 要求在边界上任一点, 应力与面力数值相等, 方向一致, 往往难以满足。 (1) 精确的应力边界条件 在小边界x=l上, 可用下列条件代替上式的条件 数值相等 方向一致 (b) (2) 积分的应力边界条件 在同一边界 x=l 上: 应力的主矢量Fx , Fy= 　　面力的主矢量(给定) 应力的主矩 M = 　　面力的主矩(给定) 具体可列出以下三个积分条件: 圣维南原理的应用 (1) 对复杂的应力边界, 可以用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时, 也可用静力等效的分布面力代替。 注意事项: (1) 必须满足静力等效条件; (2) 只能在次要边界上用圣维南原理, 在主要边界上不能使用。 如: A B 主要边界 P 次要边界 左侧面: 代入应力边界条件公式 例 图示矩形截面水坝, 其右侧受静水压力, 顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。( g 为水的容重) 右侧面: 代入应力边界条件公式, 有 上端面: 为次要边界, 可由圣维南原理求解。 y 方向力等效: 对O点的力矩等效: x 方向力等效: x y 上端面: （方法2） 在P点附近取图示微段, 由微段的平衡求得 例 试列出图中的边界条件。 M F y x l h/2 h/2 q (a) (1) 在主要边界 应精确满足下列边界条件: M F y x l h/2 h/2 q 解: 在小边界x = 0应用圣维南原理, 列出三个积分的近似边界条件, 当板厚d = 1时, M F y x l h/2 h/2 q 在小边界x = l, 当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下, 三个积分的边界条件必然满足, 暂时可以不写。 M F y x l h/2 h/2 q 例 试列出图中的边界条件。 F O x y q h b/2 b/2 解：在主要边界x= 0, b, 应精确满足下列边界条件: F O x y q h b/2 b/2 在小边界y = 0, 列出三个积分的边界条件, 当板厚d = 1时, F O x y q h b/2 b/2 注意在列力矩的条件时两边均是对原点O 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不写。 F O x y q h b/2 b/2 （1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v为基本未知函数, 将平衡方程和边界条件都用u、v表示, 并求出u、v, 再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 §2-8 按位移求解平面问题 平面问题的求解方法整体上可分为以下三种: （3）混合求解 以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数, 求出这些未知量后, 再求出其余未知量。 （2）按应力求解（力法、柔度法） 以应力分量为基本未知函数, 将所有方程都用应力分量表示, 求出应力分量后, 再用几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 一、平面应力问题 平面应力问题的物理方程为: 由上面三式求解出应力分量, 得: 将几何方程代入上式: （a） 再将式(a)代入平衡微分方程简化以后, 即得 这是用位移表示的平衡微分方程, 也