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浅谈分式方程的增根与无解 甘肃民族师范学院 武学鹏 摘要 增根和无解始终贯穿于学习分式方程的整个过程中，它们虽然是两个不同的概念，却也有着微妙的联系.初学者对于这两个概念总是难以区分，本人试图引入几个例子，对这两个概念尤其是增根作一些注解. 关键字 分式方程；增根；无解；注解 Discuss the extraneous roots and the no solution of fraction equation Abstract :extraneous roots and no solution is always running through the whole process of learning fraction equation, though they are two different concepts, it has a subtle connections. It always difficult to distinguish for beginners of this two concepts, I tried to introduce a few examples of these two concepts. I will do some notes for this two concepts especially extraneous roots . Key words :fraction equation; The root; no solution; comments 分式方程的增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.而分式方程无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 1.对分式方程解的讨论 例1.解方程 解 方程两边同时乘以x(x-2)，消去分母,可得(x-2)+3x=-2. 解这个整式方程，得x=0. 这样，得到方程的解是x=0的结论. 可是很显然，x=0并不是原分式方程的解，因为它不能使方程的两边相等.这只要把x=0代入原分式方程验证即可.当x=0时，原方程中有的项的分母为0，没有意义. 我们的求解过程是完全正确的，并没有出任何的差错.为什么会出现这样的情况呢？ 其实，分式方程中未知数x的取值范围是x≠0且x≠2，去分母化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大成了全体实数.这样，从整式方程解出的未知数的值就有可能不是原来分式方程的解. 由例1可以看出，把分式方程变形为整式方程这种变形过程，并不能保证两个方程的解相同. 那么,如何知道从整式方程解出的未知数的值是不是原分式方程的解呢？ 其实很简单，检验即可.可以把从整式方程解出的未知数的值逐个代入去分母时方程两边所乘的那个公分母中，看是否使公分母等于0。如果公分母等于0，则说明这个值是增根；否则就是原方程的解. 所以，这个题中x=0就是增根，故而原方程无解. 原方程为什么会无解呢？其实，无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 在例1 中，由于不论x取何值，都不能使分式方程两边的值相等，因此原方程无解. 2．分式方程增根和无解的隶属关系 是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 其实也不然,有增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程也不一定有增根.请看下面两个例子. 例2.解方程 解 去分母，整理，得(x-3)(x+1)=0， 解得x=3或x=-1。 此时，虽然 x=-1是增根，但原方程并不是无解的，因为该方程还有一个解x=3. 例3.解方程 经过去分母，整理，可得到2等于0 的谬论.所以原方程无解，但原方程也没有增根. 3.避免增根的方法 增根对于初学者来说，显然是一个很难理解的概念.有没有办法可以避免增根呢？ 这里，本人有一种解法.不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验.试看下面的例子. 例4.解方程 解 把右边化为0，得， 左边通分，得 即 分子分解因式，再约分，得 由分子x-3=0，得x=3. 这样，增根x=-1就没有出现. 4.利用增根解决分式方程的有关问题 增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解.如上面例1中，分式方程的增根x=0，它虽然不是分式方程的解，但却是去分母后所得整式方程的解.利用这种关系可以解决分式方程的有关问题. 例5.已知关于x的方程有增根，求k的值. 解 原方程去分母，化为 (x+2)+2(x-1)=k， 因为原方程的最简公分母是(x-1)(x+2)，所以方程的增根可能是x=1或x=-2. 若增根为x=1，代入整式方程，得3- k=0，即k=3； 若增根为x=-2，代入整式方程，得0-6=k，