高等代数课件之第5章二次型.ppt

第5章 二次型 二次型及其矩阵表示 标准形 唯一性 正定二次型 第5.1节 二次型及其矩阵表示 这里首先介绍一些基本概念. 基本内容 二次型的概念 线性替换 矩阵合同 1.二次型的概念 (1)二次型定义 (2)二次型的标准形 (3)二次型的矩阵表示 2.线性替换 定义 问题：二次型经过可逆的线性替换仍为二次型，新 老二次型的矩阵之间关系如何？ 合同是矩阵之间的一种关系，具有 反身性 对称性 传递性 结论：经过非退化的线性替换，新老二次型的矩阵 是合同的. 以下考虑利用非退化的线性替换化二次型为标 准形的问题——配方法、初等变换法. 定理 数域P上任意二次型都可经过非退化线性替换 化为标准形. 先以具体例子体现该定理内容，然后给出定理 证明. 1.配方法 例1 用配方法化二次型为标准形,并求所用的非退化 线性替换. 定理证明：对变量的个数n作数学归纳法. n=1时， f(x1)=a11x12为标准形.假设对n-1元二次型结 论成立，再设 由归纳法假定，有非退化线性替换 于是非退化线性替换 (2)aii=0(i=1,2,…,n),但有a1j?0(j1), 不妨设a12?0.令 为n-1元二次型，由归纳法假设它可以化为标准形. 综上所述，证毕. (3)a1j=0(j=1,2,…,n),由对称性ai1=0(i=1,2,…,n), 此时 内容回顾:定理 数域P上任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形.1.配方法 对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即有可逆矩阵C 使 CT AC=?为对角矩阵. 由于C为可逆矩阵，因此可以写成一系列初等矩 阵的乘积,即 C=P1,P2 …Ps ,从而 CTAC=PsT…P2TP1T AP1,P2 …Ps=?. 由于初等矩阵有三种类型:P(i,j) , P(i(k)) , P(i,j (k)) 且P(i, j)T = P(i, j) ,P(i(k))T= P(i(k)) ,P(i,j (k))T= P(j,i (k)) 于是 P(i, j)TA P(i, j)= P(i, j)A P(i, j) P(i(k))TA P(i(k))= P(i(k))AP(i(k)) P(i,j (k))TAP(i,j (k))=P(j, i(k))AP(i,j (k)) 初等变换化二次型为标准形的步骤： (1)构造2n ×n矩阵 例2 用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的非退化线性替换. 解 二次型f 的矩阵 思考练习 第5.3节 唯一性（二次型的规范形） 要说的话：一个二次型 f (x1,…,xn)=XTAX ，用不 同的非退化线性替换均可将其化为标准形, 因此其 标准形不惟一.但需要指出的是:尽管标准形不惟一, 但标准形中非零平方项的个数唯一确定, 它等于二 次型的秩r(合同矩阵有相同的秩), 这与所作的非退 化线性替换无关. 至于标准形中正、负系数的平方 项的项数, 则随着数域的变化而变化. 以下在复数域和实数域上讨论唯一性问题. 1.复数域情形 定理：任意一个复系数的二次型 f(x1,…,xn)=XTAX 均 可经过适当的非退化线性替换化为规范形 推论2 两个n阶复对称矩阵A合同?r(A)=r(B). 2.实数域情形 定理（惯性定理）任意一个实系数的二次型 f(x1,…,xn)=XTAX 均可经过适当的非退化线性替换化为规范形 设实二次型f(x1,…,xn)=XTAX 经非退化线性替换X＝BY和X＝CZ分别把它化为规范形 则有p=q.事实上，若pq,由于 考虑齐次线性方程组 由于方程个数=q+n-p=n-(p-q)n, 故有非零解 定义 实二次型 f (x1,…,xn)=XTAX 的规范形中，正 平方项的个数p 称为f (x1,…,xn)的正惯性指数,负平方 项的个数r-p称为f (x1,…,xn)的负惯性指数,它们的差 p-( r-p)= 2p - r称为f (x1,…,xn) 的符号差. 推论1 两个n阶实对称矩阵A合同?r(A)=r(B)，且 正惯性指数相等. 推论2 任意一个n阶实对称矩阵A均合同于矩阵 第5.4节 正定二次型 对不同二次型进行分类，在理论上和应用上都 有重要意义,本节介绍一种重要的实二次型 ——正 定二次型. 基本内容