高等代数课件之第6章线性空间.ppt

第6章 线性空间 集合 映射 线性空间的定义与简单性质 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构 §6.1 集合 映射 作为本章的准备，介绍一些基本概念. 1.集合（略） 2.映射（mapping） (1)定义 设M与M?是两个集合，?是一个对应法则， 如果?a?M，通过?，在M?中有一个确定的元素a? 与之对应，则称?为M到M?的映射,记作?:M?M? . 特别地， 如果?:a?a? , a ?M ,a? ?M?,也记作 ?(a)=a?. 特别地，有如下概念 映射相等: ? 、?是集合M到M?的两个映射，如果 ?a?M 都有?(a)= ?(a)，则称它们相等，记作?= ?. 单位映射:设?是集合M的一个变换，如果?a?M 都 有?(a)= a，则称?为M的单位映射或恒等映射，记作 1M. 函数是映射的特殊情形. 例1 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义 ?1(A)= ?A? A ?M . ?2(a)= a E a ?P . 例2 P[x] 是数域P上的一元多项式环，定义 ?(f(x))= f ?(x) f (x)? P[x] 例3 设M={1,2,3 },M?={东,西}.定义 ?:1?东， ?:2?西 上述例子可以看出，映射具有三个要素：定义域、到达域和对应法则，其中对应法则起重要作用.对应法则具有任意性、存在性和唯一性，即对定义域中的任意元素都有作用，其结果落在到达域中（存在性），结果是唯一的. (2)满射 设?是M到M?的映射，以?(M)表示M在映射? 下的像的全体，如果?(M)=M? ,称?是映上的或满射. （ M? 中每个元素都有原像）如例1中?1 、例2中?. (3)单射 设?是M到M?的映射,如果?(a)= ?(b), a,b ?M , 则a=b,称?是单射. 如例1中?2 是单射；例1中?1 、例2中?不是. (4)双射(1—1对应):既是满射又是单射的映射称为双射. 如设M是一个集合,定义?(a)=a, a ?M , ?是双射. (5)映射的乘法 定义 设? 、?分别是集合M到M?及M?到M??的映射， 规定 (??)(a)= ?(? (a)) , ? a?M 称为? 与?的乘积. 如例1中?2 ?1： A ? ?A? E 为M到自身的映射. 性质 (??)?= ?(??), 1M? ? = ? 1M = ? (6)逆映射 设映射?:M?M? .如果存在映射?: M??M 使 ?? =1M ，? ? =1M? 则称映射? 可逆，并称?为? 的逆映射 . 结论:可逆映射?:M?M?的逆映射?: M??M 是唯一的; 若映射?可逆，其逆映射记为? -1 . 映射?:M?M?可逆的充要条件是? 是双射. (证明略) §6.2 线性空间的定义与简单性质 在第3章，已看到向量理论对于分析线 性方程组问题所带来的优越性.在本章中, 将 把普通的向量理论加以推广, 建立起线性代 数更一般的基础理论, 从而使向量以及向量 空间的思想超越了一般的线性方程组问题， 在更广泛的领域获得应用. 1.定义 2.线性空间举例 3.线性空间的基本性质 例1 思考与练习 P267 3.(5) 证明：全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法与数乘运算构成线性空间. 解：显然V对定义的加法、数量乘法封闭. 对加法满足交换律、结合律； (0,0)是零元，任意(a,b)的负元是(-a,a2-b); 对数乘运算有 同理，有 因此，V构成实数域上的线性空间. § 6.3 线性空间的维数、基与坐标 1.基本概念 例1 记数域P上二阶矩阵的全体构成的线性空间为P2?2, 试讨论P2?2中所给向量组的线性相关性. 解：设有P中一组数k1, k2, k3, k4使 k1G1 +k2G2 +k3G3+k4G4 =O 比较分量，得 当a?-3且a ?1时，D ?0.该方程组只有零解,从而 G1 ,G2,,G3,G4 线性无关； 当a=-3或a=1时，D?0.该方程组有非零解,从而 G1 ,G2,,G3,G4 线性相关. 例