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误差理论与测量平差 Surveying Adjustment 本课程先修课程 测量学基础 高等数学 概率论与数理统计 线性代数 教学方式 讲授时理论与实例相结合;上机学习平差软件并解算习题;课程设计。 §1 概述 §2 观测误差及其分类 §3 偶然误差的规律性 §4 衡量精度的指标 §5 方差传播律及其应用 §6 权与定权的常用方法 §7 协因数和协因数传播律 §8 由真误差计算中误差及其实际应用 §9 系统误差与偶然误差的联合传播 §1 概 述 测量平差的基本任务:处理一系列带有偶然误差的观测值，求出观测值或未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。 解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。 本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。 §2 观测误差及其分类 观测值与其理论真值之间的差值，称为观测误差。 引起误差的主要来源 测量仪器：测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。 观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。同时观测者的工作态度和技术水平也直接影响观测成果。 外界条件：观测时所处的自然条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。 这些误差怎么分类呢？（根据观测误差的性质） 根据观测误差的性质，可将观测误差分为 ： 系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差（举例）。 偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差（举例）。 粗差： 由于观测者工作态度和技术水平造成的错误 系统误差举例 测距仪的乘常数误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈长，误差也愈大； 测距仪的加常数误差所引起的距离误差为一常数，与距离的长度无关；这是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差； 测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等， 偶然误差举例 经纬仪测角时照准误差可能是由于照准部旋转不正确、脚架或觇标的晃动与扭转、风力风向的变化、目标的背影等等偶然因素影响而产生的小误差。 §3 偶然误差的规律性 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。 就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。 从下面两个例子中我们再详细研究一下偶然误差,然后总结出偶然误差的规律性。 表1-1 某测区358个真误差分布情况 偶然误差的规律性 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 偶然误差的数学期望为零，即： 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。 偶然误差分布直方图 §4 衡量精度的指标 评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。 衡量精度的指标 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如图分别表示在偶然误差和系统误差影响下的精度。 衡量精度的指标--方差和中误差 用 表示误差分布的方差，误差Δ的概率密度函数为： 由方差的定义： 由于在此主要包括偶然误差部分， 所以有： 就是中误差： 衡量精度的指标--平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。 设以 表示平均误差，则有： 如果在