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控制系统仿真与CAD 国家级精品课程 国家级精品课程控制系统仿真与CAD第三章 科学运算问题的MATLAB求解 第三章 科学运算问题的MATLAB求解 几乎所有应用数学分支都有MATLAB工具箱 解析解与数值解，用一个命令即可以解决问题 需要将数学问题用规定的形式输入给计算机 可以有哪些信誉好的足球投注网站问题的MATLAB求解或自编函数 本节主要介绍和这门课程相关的问题 线性代数问题的MATLAB求解 代数方程求解、微分方程求解 最优化问题的求解 Laplace 变换与 z 变换问题的求解 进一步学习这方面内容建议阅读 薛定宇、陈阳泉《高等应用数学问题的MATLAB求解》（第二版），清华大学出版社，2008。英文版：Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB，CRC Press，2008 遇到某个MATLAB问题找不到合适的工具箱，试在下面网址有哪些信誉好的足球投注网站 /matlabcentral/ 3.1 线性代数问题的求解 线性代数在控制中是很重要的数学工具 稳定性可以通过矩阵特征值求解 系统可控性、可观测性可以求矩阵的秩 线性相似变换需要求解矩阵的逆和乘法 状态方程解析解需要矩阵的指数函数等 本节主要内容 矩阵的基本分析 矩阵的分解 矩阵指数和指数函数 3.1.1 矩阵的基本分析 MATLAB的一系列函数可以求线性代数问题的数值解，大部分可以求解析解 行列式 det(A)、迹 trace(A)、秩 rank(A) 范数 norm(A,n)、特征值 eig(A)、多项式polyvalm(A) 逆 inv(A)、广义逆 pinv(A)、奇异值svd(A) 例3-1 Hilbert 矩阵 ，求行列式 精确值 例3-2 Vandermonde 矩阵 符号矩阵 行列式求解 逆矩阵 特征多项式 3.1.2 矩阵的分解 矩阵的相似变换 非奇异方阵 T， 矩阵的三角分解：LU、Cholesky分解 LU 分解： lu() 函数可以利用重载函数直接处理符号矩阵 chol() 函数处理对称矩阵 正交基与正交分解： 正交矩阵定义： 正交基分解： 矩阵的奇异值分解 定义： 条件数： MATLAB 函数： 3.1.3 矩阵指数与指数函数 矩阵指数 数学记号 MATLAB 求解 （解析与数值解） 指数函数 同样可以用expm()函数直接求取 例3-3 求 数值解 解析解 解析解 演示：自编 funm() 求矩阵的任意函数 3.1 线性代数问题求解小结 线性代数很多问题可以用MATLAB语句直接求解，和数学表示差不多一样直观 很多方法可以同时得出解析解和数值解 涉及的函数：det()、trace()、norm()、rank()、poly()、polyval()、polyvalm()、inv()、pinv()、svd()、lu()、chol()、cond()、orth()、expm() 函数的两种调用方法，det(A)、det(sym(A)) 线性代数方程的求解将在3-2节介绍 3.2 代数方程的MATLAB求解 在控制中有各种问题涉及到方程求解 线性代数方程如Lyapunov方程？ 非线性方程如Riccati方程等，如果变形能否求解 本节主要内容 线性代数方程的数值解与解析解 一般非线性方程的数值解 非线性矩阵方程的求解 3.2.1 线性代数方程的解析解与数值解 本节主要内容 线性方程的求解 Lyapunov 方程求解 Sylvester 方程求解 Riccati 方程求解 前三个问题将介绍解析解与数值解，后一个属于非线性矩阵方程只能介绍数值解，并在下节进一步探讨数值解 线性代数方程的求解 线性代数方程的标准型 A X = B 解的判定矩阵：C = [ A, B ] 求解方法分三种情况考虑 唯一解：A 为非奇异方阵， 有无穷多解 rank(A)=rank(C )n 基础解系 特解 无解：矛盾方程的最小二乘解 基本行变换求解：rref 函数 例3-4 A 奇异，与 C 秩相等有无穷解 基本行变换方法求解 得出的结果 导出数学解为 、 可以自由选取 另两个解为 Lyapunov 方程求解 连续 Lyapunov 方程 Lyapunov 方程的数学形式 MATLAB 数值解 离散 Lyapunov 方程 数学形式 MATLAB 求解 Sylvester 方程求解 Sylvester 方程是Lyapunov方程的推广 数学形式： MATLAB求解： Sylvester方程的解析求解 算法： 方程解析解求解语句