三重积分的概念与计算教学幻灯片讲义.pptVIP

或 解： Hw:p182 3. 0 x z y M(r,?,?) r ? ? P y x z . . 2. 球坐标下计算三重积分 球面坐标与直角坐标的关系为 S r M ? y z x 0 r =常数: ? =常数: 球面S 动点M(r,?,?) 球面坐标的坐标面 球面坐标的坐标面 ? C r =常数: ? =常数: S 球面S 半平面P 动点M(r,?,?) M ? y z x 0 ? P ? =常数: 锥面C . 分析 解： 4). 三次积分法 设区域 投影法 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 得： 注意： 例7. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 解： hw：p181 1(1,3) 2,6(1,3). 三. 三重积分的变量替换 类似二重积分的变量替换。 0 x z y M(r,?, z) z ? r N x y z (x, y, z) (r, ?, z) ? z = z 1. 柱坐标下计算三重积分 . 规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为: z 动点M(r, ?, z) 柱面S r =常数： 平面? z =常数： x 0 y z M r S ? z 柱面坐标的坐标面 动点M(r, ?, z) 半平面P 柱面S ? =常数: r =常数： 平面? z =常数： z x 0 y z M r S ? P ? 柱面坐标的坐标面 x z y 0 ? dr r rd? d? z 平面z 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； 柱面坐标下的体积元素 x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz 平面z+dz 柱面坐标下的体积元素 x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . 柱面坐标下的体积元素 . dV 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 解： 知交线为 解： 可用柱坐标 Wed. Apr.10 Review 三重积分的概念 三重积分的直角坐标计算 1. 三重积分的柱坐标计算 解： 解: 在柱面坐标系下 原式 = §3 三重积分的概念与计算 三重积分的概念 三重积分的计算 三重积分的变量替换 含参变量积分 一. 三重积分的概念 分割 求和 取极限 近似 ? 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 三重积分的性质与可积函数类同二重积分。 二. 三重积分的计算 特殊分割，用分别平行于3个坐标面的平面将空间区域分割。 1. 直角坐标下的计算 直角坐标系中将三重积分化为累次积分． x 0 z y a b c d z=g z=e N M P ? =[a ,b ; c ,d ; e ,g] I = 积分区域是长方体 . ? D 同理，也有其它 积分顺序 1). 计算三重积分 x 0 z y z2(x,y) ?为图示曲顶柱体 I = P N M . . 积分区域是曲顶柱体 ? D z1(x,y) 2).计算三重积分 这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算 解： 的上底与下底分别为： 投影区域为D，如图所示： 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 x 0 z y 6 6 6 4 2 . x 0 z y 6 6 6 . D 0 y x 6 2 4 D . 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例3. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例3. 1 1 z =0 o z x x+ y=1 y ? 。 。 z=xy . 例3. x 0 z y c1 c2 z ? Dz 3) 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） 先做二重积分，后做定积分 x 0 z y c1 c2 ? . 先做二重积分，后做定积分 z Dz 3) 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） x 0 z y c1 c2 ? I = . 先做二重积分，后做