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§1.4 条件概率 上述公式称为Bayes公式. 定理 设B为一事件且P(B)0,事件A1, A2, …, An构成一完备事件组，且P(Ai )0, i=1,2,…n， 则有 例 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率? 解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04. = 0.4 由Bayes公式得: ABCA，问传输的是信号AAAA的概率等于多少？ A3表示事件“传输的字符为CCCC”，则根据题意有 例 通信渠道中可传输的字符为AAAA, BBBB, CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3、0.4、 0.3. 由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字母 的概率为0.6，收到其它字母的概率为0.2，假定字 母前后是否被歪曲互不影响，若收到的信号为 解 以B表示事件“收到ABCA”，A1表示“传输的字符 为AAAA”， A2表示事件“传输的字符为BBBB”， P(A1)= 0.3, P(A2)=0.4, P(A3)=0.3, P(B|A1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.0144, P(B|A2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.0048, P(B|A3)= 0.2×0.2×0.6×0.2=0.0048, 根据Bayes公式有 作业：习题1.4：:6，9 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立. 1.5、事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 定 义 设 A , B 为两事件，若 则称事件A与事件B 相互独立 注1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若 注2.若 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)” 不能同时成立 注3.若 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥. 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、B不独立 我们来计算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再请你做个小练习. 两事件相互独立的性质 试证其一 事实上 性质1. A, B独立? 独立? 独立? 独立. 性质2 . A、B两个事件独立，则 三事件 A, B, C 相互独立,是指下面 的关系式同时成立： (1) (2) 定义 注2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两两独立的事件组. 注1)三事件A, B, C 相互独立,要求满足(1)(2)式, 也称 A, B, C 为相互独立的事件组. 注3) 关系式(1) (2)不能互相推出. A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立 定义 两两独立的事件组未必是独立的事件组。 独立的性质 性质1. 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 相互独立,其中 为 ? 性质2.若 A1, A2, …, An 相互独立, 则 * * 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 1.4.1、条件概率 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般地 P(A|B) ≠ P(A) P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B