高考数学专题十一 三角函数式的化简与求值.docVIP

专题十一　 三角函数式的化简与求值 　　知识网络　　三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列 一、高考考点　　以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：　　1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。　　2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。　　3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。　　二、知识要点　　（一）三角函数坐标定义的推论　　1、三角函数值的符号　　2、特殊角的三角函数值　　3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）　　（1）课本中的公式：　　?　　（2）同角公式“全家福”　　①平方关系：?.　　②商数关系：?.　　③倒数关系：?　　4、 诱导公式：　　（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角?　　① k·360°＋?（k∈Z），－?，180°±?，360°－?（共性：偶数×90°±?形式）的三角函数值，等于?的同名函数值，前面放上一个把?看作锐角时原函数值的符号；　　② 90°±?，270°±?（共性：奇数×90°±?）的三角函数值，等于?的相应余函数值，前面放上一个把?看作锐角时原函数值的符号。　　①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。　　（2）诱导公式的引申　　?；　　?；　　?.　　（二）两角和与差的三角函数　　1、两角和的三角函数??　　两角差的三角函数　　?　　　?　　?　　?　　　??　　?　　?　　　　　　　??　　?　　令?＝?　　2、倍角公式　　?；　　?　　＝?　　＝?；　　?　　?　　3、倍角公式的推论　　推论1（降幂公式）：　　　　?；　　?；　　?.　　推论2（万能公式）：　　?；　　?.　　推论3（半角公式）：　　?；　　?；　　?.　　其中根号的符号由?所在的象限决定.　　三、经典例题　　例1、填空：　　（1）已知?的取值范围为　　　　　　?　　（2）已知?的取值范围为　　　　　　　　　　　　?　　分析：　　（1）从已知条件分析与转化入手　　?　　 ①　　又?　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　∴由①、②得?，　　∴应填?　　（2）首先致力于左右两边的靠拢：　　左边＝?　　　　　　　　　　 ①　　右边＝?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　∴由左边＝右边得?　　?　　?，　　∴应填?　　点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得?，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.　　例2.化简或求值：　　（1）?　　（2）?　　分析：　　（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。　　（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外 ，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.　　解：　　（1）原式＝?　　（2）　　解法一（利用关于正切的倍角公式）：　　注意到?　　∴?　　∴原式＝?　　＝?　　＝?　　＝?　　＝cot20°　　解法二（利用掌握的典型关系式）：　　注意到?（证明从略）　　∴原式＝?　　＝?　　＝?　　＝cot20°　　点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.　　例3.　　（1）已知?，求?的值；　　（2）已知?　　分析：　　对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；　　对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入， 以准确已知的延伸方向.　　解：　　（1）由已知得?　　∴?　　注意到?　　∴由已知得?（至此，目标的变形方向明确）　　于是有　　 原式＝?　　＝?　　（2）由已知得　　 原式＝?　　＝?　　＝?　　　　　　　　　　　　　　 ①　　（至此寻求的目标明确）　　又∵?　　∴?　　∴?　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　于是②代入①得，原式＝?.　　点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分