[理学]高数 第十章.pptVIP

§10.3 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 小 结 练习题 2. 计算 解: （1） 三重积分在柱面坐标系下的计算 （2）三重积分在 球面坐标系下的计算 （3）利用对称性计算三重积分 三重积分的计算： 1、选取适当的坐标系（直角＼柱面＼球面）; ２、选择积分次序，化为三次积分; ３、计算三次积分． 坐标系的选择主要取决于积分区域的形状： (1)柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转面与其他曲面围成的形体时，易用柱面坐标； (2)球体或球体的一部分、锥体时，易用球面坐标； (3)长方体、四面体或任意形体时，易用直角坐标。 作业 P164 9; 11 预 习 重积分的应用 所围成. 其中? 由 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“先一后二”较好. 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 所围, 故可 表为 练 习 : * * * 上次课回顾 先一后二法 先二后一法 (截面法) 适用先二后一的三重积分的特点： 1、被积函数为z的函数； 2、用垂直于z轴的平面截?所得的平面的面积可求。 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分 利用对称性计算三重积分 例1 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 D(z): x2+y2≤z z?[0, 1] 解1(截面法)： 例1 将 化为三次定积分，其中 ? 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解2：先对 z 积分，将? 向 xoy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 ? D: x2+y2≤1 z=1 ? z=0 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 一、利用柱面坐标计算三重积分 规定： 则柱面坐标与直角坐标的关系为： 1、柱面坐标 与直角坐标（x，y，z）之关系： 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平面． 2、柱面坐标系中的体积元素与三重积分 说明： 2、一般情况下，积分次序易选为：z?r?? 1、当积分域由柱面、平面或部分柱面围成时， 易选 用柱面坐标系计算三重积分； 如图所示： 用柱面坐标系计算三重积分的一般步骤： 1、将区域?往xoy面上投影，确定平面区域D 2、由公式 将?的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式； 3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域?确定z的上、下限； 在 D上分别确定r、?上下限（类同于平面极坐标） 则： 次序为：z?r?? 例1 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 将区域?往xoy面上投影 ? D: x2+y2≤1 解3(柱面坐标)： 由 例2 解： 原式= 注：当积分区域为圆柱体或其一部分时，选用柱面坐标系计算三重积分，此时三次积分上下限为常数。 例3 解： 如图所示， z=r 原积分 将区域?往xoy面上投影 解1 由 解2：截面法 解 所围成的立体如图， 旋转面方程为 所围成立体的投影区域如图， 解法一： 原式 令 解法二： 先二后一 其中： 1、球面坐标与直角坐标的关系 圆锥面； 球 面； 半平面． x2+y2+z2=r2 二、利用球面坐标计算三重积分 2、一般情况下，积分次序易选为 r???? 2、球面坐标系中的体积元素与三重积分 注：1、当区域?是由球面、锥面及其一部分时，选 用球面坐标系计算； 如图所示，在球面坐标系下，用三族坐标面分割空间域，得到空间的体积元素为： 则 解 三、利用对称性简化三重积分的 计算 1 2 解： 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 解： 用一个变量代替另一个变量（交换变量），被积函数及积分区域都没有改变 。则积分中只需计算其中一个再两倍起来即可。 用一个变量代替另一个变量（交换变量），被积函数及积分区域都没有改变 。则积分中只需计算其中一个再两倍起来即可。 关于变量的对称性