[理学]高等代数第一学期总复习.ppt

第一章 多项式 逆序数 对　换 n 阶行列式的定义 行列式按行（列）展开： Cramer 法则 典　型　例　题 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、基础解系的证法 四、解向量的证法 证明 　　注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的． 证明 注意(1)本例是对非齐次线性方程组　　　　的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着　　　　个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性． 　　(3)对非齐次线性方程组　　　　，有时也把 如题中所给的　　　　个解称为　　　　的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解． 　　(2)对齐次线性方程组，当　　　　　　时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示． 第四章 矩阵 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、 数量阵、单位阵. 2. 矩阵的基本运算 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减). 加法满足 数乘满足 数与矩阵相乘： 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 二、矩阵的秩 2. 矩阵的初等变换 1) 初等变换不改变矩阵的秩； 2) 用初等变换计算矩阵的秩； 1. 矩阵的秩 矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩， 矩阵的行(列)秩=不为零的子式的最大 级数. 三、线性方程组的解的情形 有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. (1) 1. 线性方程组有解的判定： 1) 当R(A)=R( )=n，方程组(1)有唯一解； 2）当R(A)= R( )=rn，方程组(1)有无 穷多解. 3．齐次线性方程组的解的情形： 总是有解. (2) 2. 线性方程组的解的个数： 1) 当R(A)=n，方程组(2)只有零解； 2）当R(A)=rn，方程组(2)有非零解. 四、线性方程组的解的结构 1) 齐次线性方程组的基础解系. 2)当R(A)=rn，方程组(2)的任意n-r 个线性无关的解向量 都是 它的基础解系，(2)的全部解可表示为： 其中 是任意的数. 3）当R(A)= R( )=rn，如果 是线性方程组 (1)的一个特解， 是(1)的相应 导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解 都可表示为： 其中 是任意的数. 对于非齐次线性方程组: 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、基础解系的证法 四、解向量的证法 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现，即看其中有无某个向量(不是任意一个向量)，可由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型问题时，我们往往采用反证法。 研究这类问题一般有两个方法 方法1　从定义出发 整理得线性方程组 方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定 例１　研究下列向量组的线性相关性 解一 整理得到 解二 分析 证明 　　　证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是： 分析 　　根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系． 证明 由于 线性无关，于是有 设 即 例3　已知向量组 线性无关，向量 证明： 线性无关. 解之得 所以 线性无关 . 证： 　　求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的． 　　如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组． 　　若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性． 解 例5　设 　1）证明： 线性无关. 2）把　　　扩充成一个极大无关组. 　1）证： 由于　　　不成比例， 2）解： 线性无关. 由　 即　 为自由未知量. 解得　 线性相关. 即　 可经　　　线性表出. 由　 解得　 线性无关. 即　 不能由　　　线性表出. 即　 知，　 再由行列式　 存在不全为零的数　　　　　　使　 线性相关. 故　　　　即为由　　 扩充的一个极大无关组. 　　　要证明某一向