[理学]高等代数第一章 基本概念.pptVIP

第一章 基本概念 1.1 集合 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 1．2 映射 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1．2 映射 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 1.3 数学归纳法 1.3.1 最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 1.4 整数的一些整除性质 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 1.5 数环和数域 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交.  的并和交分别记为： 和 . 我们有 差运算： 设A，B是两个集合，令 也就是说， 是由一切属于A但不属于B 的元素所组成的，称为A与B 的差. 注意：并没有要求B是A的子集. 例如， 积运算： 设设A，B是两个集合，令 称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B. 一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应. 用字母f，g，…表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . 例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令  与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射， 例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 对于每一 ，令 与它对应；  那么 f 是R到B的一个映射. ， ， 例3 设 这是A到B的一个映射. 例4 设A是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集  合. 对于每一 ，令 与它对应. f 不是A  到B的映射， 因为当 时， 不能由x唯一确 定. 例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射，因为 . 例6 设A是任意 一个集合，对于每一 ，令 与它对应： 这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等映射. 注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同. 设 是一个映射. 对于 ，x的象 . 一切这样的象作成B的一个子集，用 表示： ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 例7 令 ， . 那么 . 设 ， 都是A到