[理学]线性方程组的迭代法.pptVIP

解线性方程组的迭代法 将方程组AX=b，改写成便于迭代的形式 建立迭代格式 向量X(0)事先给定，称为初始解向量，用公式逐步迭代求解的方法叫做迭代法. 如果由产生的序列 收敛，则称迭代法是收敛的，否则称为迭代法发散. 若 将方程组 改写为 1．Jacobi迭代法 建立迭代格式 Gauss-Seidel迭代法 建立迭代格式 超松弛法 由Gauss-Seidel迭代法得 由此得公式 即 称为松弛法,其中?为松弛因子. 为保证迭代过程收敛,必须要求0? 2. 为加速收敛,取? 1,这时?称为超松弛因子. 当? =1时,就是Gauss-Seidel迭代法. 迭代公式的矩阵表示 将方程组AX=b的系数A分解成 A=D+L+U 其中D=diag(a11,a22,?,ann) ，L和U分别是A的 对角线下方元素和上方元素组成的严格下三角 阵与严格上三角阵. 即 Jacobi迭代的矩阵表示为 Gauss-Seidel迭代的矩阵表示为 超松弛法的矩阵表示为 均属于形式 的迭代公式. 迭代法的收敛性 定理（迭代法的基本收敛定理） 迭代过程 X(k+1) =BX(k) +g 对于任意初始向量X(0)及右端向量g均收敛 的充要条件是迭代矩阵B的谱半径?(B)1, 并且?(B) 愈小，收敛速度愈快. 定理（迭代法收敛的充分条件） 若迭代法 X(k+1) =BX(k) +g 的迭代矩阵B满足，??B??=q1,则对于任意的 初始向量X(0)与右端向量g迭代法收敛. 证明 证 设X*为方程组X=BX+g的精确解,则 X* =BX* +g X* - X(k+1) =B(X* - X(k) ) ?? X* - X(k+1) ?????B?????X* - X(k)?? 反复利用此不等式和已知条件有 ?? X* - X(k) ?????B??k???X* - X(0)???0 从而对于任意的X(0)与g迭代收敛. 对角占优阵 称方阵A=(aij)nn 为严格对角占优的，如果 或 定理（迭代法收敛的充分条件） 若线性方程组AX=b的系数方阵A=(aij)nn是按行(或按列)严格对角占优的，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代 法都是收敛的. Jacobi迭代矩阵 由于A是按行严格对角占优,即 故 从而Jacobi迭代收敛 设方程组的精确解为 Gauss-Seidel迭代公式为 两式相减得 令 ,设 则 整理得 由于系数阵A是按行严格对角占优的,故 从而 所以Gauss-Seidel迭代 法收敛. 定理 超松弛法收敛的必要条件为 0?2 证 设其迭代矩阵G?的特征值为?1,?2,?, ?n , 由于迭代收敛,故有 从而 又 因此 ,即0?2 例 分别用Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代 法求解方程组 精确到小数点后四位，并要求分别写出其 迭代法的分量形式和矩阵形式. 解 （1）用Jacobi迭代法，其迭代法的分量形式为 迭代法的矩阵形式为 其中 取初值X(0) =(0,0,0)′，迭代可得 迭代7次，得近似值. （2）用Gauss-Seidel迭代法，其迭代法的分量形式为 其迭代法的矩阵形式为 其中 即 取初值X(0) =(0,0,0)′，迭代可得 迭代5次，得近似值 对方程组 通过调整方程的次序，建立收敛的Jacobi迭 代格式和Gauss-Seidel迭代格式. 解 将第二个方程调到第一行、第三个方 程调到第二行、第一个方程调到第三行后 有同解方程组 这是按行严格对角占优方程组，故Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法都一定收敛. Jacobi迭代格式为 Gauss-Seidel迭代格式为 * *