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第三章 常微分方程的差分方法 3.4 收敛性与稳定性收敛性与稳定性 § 收敛性与稳定性收敛性与稳定性 一、一、收敛性问题收敛性问题 一一、、收敛性问题收敛性问题 差分方法的基本思想是差分方法的基本思想是，通过离散化手续，通过离散化手续，将微分，将微分 差分方法的基本思想是差分方法的基本思想是，，通过离散化手续通过离散化手续，，将微分将微分 方程转化为差分方程来求解方程转化为差分方程来求解。这种转化是否合理。这种转化是否合理，， 方程转化为差分方程来求解方程转化为差分方程来求解。。这种转化是否合理这种转化是否合理，， y 还要看差分方程的解还要看差分方程的解 当当 时是否收敛到微分时是否收敛到微分 还要看差分方程的解还要看差分方程的解 当当h→ 0 时是否收敛到微分时是否收敛到微分 n y( ) = + nh x x x 方程的解方程的解 n 。对于任意固定的。对于任意固定的 n 0 如果如果 方程的解方程的解 。。对于任意固定的对于任意固定的 如果如果 yn h→0( n→ ∞) y(x ) 数值解数值解 当当 时收敛到准确解时收敛到准确解 ，， 数值解数值解 当当 时收敛到准确解时收敛到准确解 n ，， 则称该方法收敛则称该方法收敛。。 则称该方法收敛则称该方法收敛。。 以下研究欧拉格式的收敛性以下研究欧拉格式的收敛性。设。设y 表示取表示取y = y(xn) 以下研究欧拉格式的收敛性以下研究欧拉格式的收敛性。。设设 表示取表示取 n n+1 按欧拉格式按欧拉格式 (y = y + hf( , y )) 求得的结果求得的结果。即。即：： 按欧拉格式按欧拉格式 n+1 n xn n 求得的结果求得的结果。。即即：： = ( ) + ( , ( )) yn+1 y xn hf xn y xn （1） 2 其局部截断误差为其局部截断误差为：： 其其局部截断误差为局部截断误差为：： 2 h y(xn+1) − yn+1 = 2 y (ξ ) xn ξ xn 因而存在定数因而存在定数c，使，使 因而存在定数因而存在定数 ，，使使 2 y(xn+1) − yn+1 ch （2 ） = ( ) − 进一步考察整体截断误差进一步考察整体截断误差。令。令e y xn yn ，，由于由于 进一步