[理学]数值分析ch05c.pptVIP

第五章解线性方程组的直接方法 本讲内容 向量范数 向量范数 范数性质 范数性质 矩阵范数 矩阵范数 算子范数 矩阵范数性质 算子范数性质 算子范数性质 作业 * * 计算方法 —— 向量与矩阵范数 向量范数 矩阵范数 向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质 矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质 设函数 f : Rn ? R，若 f 满足 f(x) ? 0，? x?Rn , 等号当且仅当 x = 0 时成立 f(?x) = |?| · f(x) ， ? x?Rn , ? ??R f(x+y) ? f(x) + f(y) 则称 f 为 Rn 上的（向量）范数，通常记为 || · || 例： ，是 Rn 上向量范数 向量范数 常见的向量范数 ③ 无穷范数（最大范数） ② 2-范数 ① 1-范数 范数的性质 (1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分量是连续的 (2) 等价性 设 || · ||s 和 || · ||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 x?Rn 有 证明：板书 (3) Cauchy-Schwarz 不等式 (4) 向量序列的收敛性 设函数 f : Rn?n ? R，若 f 满足 f(A) ? 0，? A? Rn?n , 且 f(A) = 0 ? A = 0 f(?A) = |?| · f(A) ， ? A?Rn , ? ??R f(A+B) ? f(A) + f(B) f(AB) ? f(A)f(B) 则称 f 为 Rn?n 上的（矩阵）范数，通常记为 || · || 矩阵范数 常见的矩阵范数 (1) F-范数 (Frobenious 范数) (2) 算子范数 (从属范数、诱导范数) 其中 || · || 是 Rn 上的任意一个范数 常见的算子范数 ③ 无穷范数（行范数） ② 2-范数（谱范数） ① 1-范数（列范数） 证明：③ ② 板书，① 为作业 例：设 计算 矩阵范数的性质 (1) 连续性：设 f 是 Rn?n 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的每个分量是连续的 (2) 等价性：设 || · ||s 和 || · ||t 是 Rn?n 上的任意两个矩阵范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A? Rn?n 有 (3) 若 A 是对称矩阵，则 定理：设 || · || 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为 || · || ，则有 算子范数的性质 定理：设 || · || 是任一算子范数，则 定理：对任意 ?0, 总存在一算子范数 || · ||? ，使得 ||A||? ? ?(A) + ? 定理：设 || · || 是任一算子范数，若 ||B||?1 ，则 I±B 非奇异，且 证明：板书