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机械工程CAD基础 机械工程CAD基础 第2章 机械工程CAD算法基础 不管是机械工程还是其它工程问题，无论其空间尺度和时间尺度的大小，理论上可根据工程问题遵守的基本的物理化学规律，如牛顿定律、热力学定律、化学反应定律、电磁学定律等，列出抽象的方程或方程组。它们可能是多项式代数方程（组）、超越函数方程（组）、常系数方程（组）、变系数方程（组）。 数学上只有一些低阶问题可以得到理论解析形式的解答，一般的工程问题由于自由度和非线性等限制，要找出它们的显式封闭的解析解是困难的或不可能的，只有通过算法和计算机编程得到数值解答。 按照工程问题和求解算法的性质，从大的方面，工程问题可以分为零值求根问题、极值优化问题、初值仿真问题、边值有限元问题、动态特征值问题和非数值有哪些信誉好的足球投注网站问题。 2.1 零值求根问题 零值问题就是方程（组）求根问题，找到使方程（组）等于零（即等式成立）时未知量的值。 2.1.1 方程求根 1. 一元一次方程 2. 一元二次方程 3. 一元三次方程 4. 通用解法 二分法 牛顿迭代法 5. MATLAB示例 2.1.2 线性方程组 工程零值问题更多的情况是多元（未知量）问题，可以分为多元一次线性方程组和多元非线性方程组。 1. 二元一次线性方程组求解 2. 高斯消元法 3. MATLAB示例 采用INV、LU、CHOL、QR、/、\等函数实现逆矩阵、三角分解、正交分解、左除、右除。可用COND函数判断矩阵条件数。 A=[7 3 –2;3 4 1;-2 1 3]; cond(A); inv(A) lu(A) 2.1.3 非线性方程组 方法一是把其转化为极值问题，采用最优化算法求解。 方法二是把求解一元非线性方程的牛顿迭代法推广到多元情况。 1. 迭代法求解 2. MATLAB示例 采用fzero、fsolve函数求解单变量和方程组的根，本质是采用单纯形优化算法。 fzero(‘sin’,3) fezro(‘sin’,-1,6) x=fsolve(‘fun’,x0) xx=fsolve(‘fun’,x0,option,’gradfun’) 2.2 极值优化问题 工程极值问题就是求解某工程设计参数取何值时候其某性能指标取得最大值、最小值。一般而言求解过程是在一定的参数区间或约束条件下进行的，数学上称为多自由度约束最优化问题。一般的极值问题可化为多元参数在小于零约束集下的取最小值问题。 2.2.1 线性规划极值问题 管理工程中常见资源分配、人力管理等这类问题，可抽象为一些线性函数约束条件下取得最佳经济效益（成本最低，路径最短，资源消耗最少等）问题，数学上都是多元线性函数约束极值问题，对应LP线性规划模型： MATLAB示例 2.2.2 非线性规划极值问题 机械设计、土木工程设计中更为一般的是多元非线性规划问题，其目标函数和约束函数是设计变量的非线性函数。 1. 一元非线性极值问题 对于最简单的一元非线性函数，一般情况下在区间[a b]内存在多个局部极大值（极小值）。最大最小值只能在这些极值点和边界点中产生。理论上讲只需要求解导数方程的根就可得到极值点。由于导函数方程零值问题一般比原函数极值问题更难求解，实际上多针对原函数采用有哪些信誉好的足球投注网站迭代法求解。 2 多元非线性极值问题 1) 枚举策略 用伪随机函数在X可行区间大量均匀随机布点或网格定点，先判断约束挑出可行点（满足约束条件），再计算可行点的函数值，最后从中挑出最大值和最小值。这种算法简单可靠，适应性好，适合于低维问题，但是计算量大，可能发生组合爆炸。 2) 方向有哪些信誉好的足球投注网站策略 3) 约束条件处理策略 一种是可行方向法。每次计算出新xk后，进行约束检查，若满足约束条件且函数值具有下降性，才接受新解，否则缩减步长处理。 一种是惩罚函数法，把约束函数作为惩罚项加入，转化为无约束极值问题处理。 一种是简略梯度法，每次在当前点做泰勒一阶展开，把目标函数和约束函数作线性化处理，转化为LP线性规划迭代处理。 一种是约束变尺度法，每次在当前点把目标函数和约束函数在当前点作二阶泰勒展开，化为QP二次规划子问题求解。 4) 多元目标函数处理策略 一种策略是轮流选择一个目标函数作为当前优化目标函数，其它目标函数给予容许区间，转化为边界约束条件。 另一种策略是把目标函数通过线性加权等手段，组合成一个目标函数。 3. 复合形法 复合形法是一种经验方法，计算过程简单稳健，可求解上述无约束和有约束优化问题。其基本思路是在n维空间的可行域中选取k个设计点作为初始复合形(多面体)的顶点。然后比较复合形各顶点目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点，一般说来此映射点的目标函数值总是小于坏点的，也就是说映射点优于坏点。 这时以映射点替换坏点与原复合形除坏点之外