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高一数学集合命题复习题
已知全集,,
,,求集合及的值。
,,.
2.已知集合,若,求
【解】依题设,,再由解得或,
因为,所以,所以,所以或2,所以或3。
因为,所以,若,则,即,若,则或,解得
综上所述,或;或。
3.(附加题)设,求证:
(1);
(2);
(3)若,则
[证明](1)因为,且,所以
(2)假设,则存在,使,由于和有相同的奇偶性,所以是奇数或4的倍数,不可能等于,假设不成立,所以
(3)设,则
(因为)。
命题的形式及等价关系已知命题:实数满足,则。判断该命题的真假,并说明理由。
真.分“”与 “” 两种情况讨论.
已知二次函数,回答下列命题是否正确,并简述理由。
(1)对每一个,不论怎样的,总有成立;
(2)对每一个,总存在,使得成立。
(1)假.例如
(2)真.对任意
C 组
判断命题M:“”与
N:“”的真假,并说明理由。
M真,利用不等式性质可证;N假,举反例如: .
.已知一个命题的否命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,写出原命题、逆命题、逆否命题,并判断四种命题的真假。
原命题 至少有一组对边不相等的四边形不是平行四边形。 真 逆命题 如果四边形不是平行四边形,那么至少有一组对边不相等。 真 否命题 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 真 逆否命题 平行四边形的两组对边分别相等。 真
.已知一个命题的逆命题“若实数满足,则” 写出原命题、否命题、逆否命题,并判断四种命题的真假。
原命题 若实数满足,则 假 逆命题 若实数满足,则 真 否命题 若实数满足,则 真 逆否命题 若实数满足,则 假
C 组
.在中,分别是上的点。求证:。
证明等价命题,即原命题的等价命题“若与平行,则”。过程略。
充分条件与必要条件设A、B都是C的充分条件,D是B的充分条件,D又是C的必要条件,那么B是A的什么条件?C是D的什么条件?
必要条件;充要条件.
集合,写出 的一个充分非必要条件,并加以证明。
例如:.证明略.
C 组
1.求当时,不等式恒成立的充分非必要条件和必要非充分条件。
充分非必要条件,如(比充要条件更小范围即可)
必要非充分条件,如(比充要条件更大范围即可)
求当时,不等式恒成立的充要条件.
求关于的二次方程有两个不相等的正实根的充要条件.
1.关于的实系数一元二次方程,分别写出满足下列条件的充要条件:
方程有一个正根,一个负根;
方程有两个负根;
方程有一个正根,另一个根为零;
函数的值恒为正。
(1); (2)且且;
(3)且; (4)且。
C 组
1.设现有以下三个条件
甲:; 乙:; 丙:。 丁:
求证:“甲”是“乙”和“丙”的充分条件。甲不是丁的充分条件
设,则可设
若令则有
所以,即“甲”是“乙”的充分条件;
同理可证: “甲”是“丙”的充分条件。
令,则,得证
§1.6 子集与推出关系
1.设,,若是的充分条件,求实数的取值范围.
1.设或,,若是的必要条件,求实数的取值范围.
或
C 组
1.关于的方程,
(1)写出至少有一个正实根的充要条件.
(2)写出至少有一个负的实根的一个必要不充分条件.
答案:(1) (2)包含的集合
.为使关于的实系数一元二次方程的两个根是不相等的正数,下列条件中哪些是必要不充分的,哪些是充分不必要的,哪些是充要的?
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)且;
(6)且;
(7)且且;
(8),,,;
(9),,。
解:必要不充分条件:1,2,5,6; 充分不必要条件:8; 充要条件:7
16.设集合,集合,
(1)求使的实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使成立?若存在。求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由。
解:(1),,;
(2)。
.已知集合。
①若中只有一个元素,求实数的值;
②若中至多只有一个元素,求实数的值;
③若中至少有一个负实数,求实数的值。
解:⑴时,,附合题意;
⑵中没有元素时,;只有一个元素时,; 综上,
⑶中只有一个负根 当,附合题意,
当,附合题意 。
中有两根,一正一负,则。
中有两根,负,则
综上,。
另解:
附加题:
.是关于的方程只有负根的什么条件?为什么?
解:;
当时,方程无解;当时,;当时,;当时,;
是关于的方程只有负根的充分不必要条件。
7
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