房贷计算器原理.docVIP

　1. 等本息法月还款额计算公式的推导 　　在上一篇随笔“用 C# 写个人住房贷款计算器”中提到，等本息法在利率不变的情况下，每月的还款额是固定的，所以也称为“等额法”，计算公式如下： 月还款额 = 贷款金额 x 月利率 x (1 + 月利率)期数 (1 + 月利率)期数 - 1 　　现在就让我们来推导出这个公式吧。 　　我们知道，等本息法的计算方法如下： 　　本月月还利息 = 上月剩余贷款余额 x 月利率 　　本月月还本金 = 月还款额 - 本月月还利息 　　本月剩余贷款余额 = 上月剩余贷款余额 - 本月月还本金 　　因此： 本月剩余贷款余额 = 上月剩余贷款余额 - 本月月还本金 = 上月剩余贷款余额 - (月还款额 - 本月月还利息) = 上月剩余贷款余额 - 月还款额 + 本月月还利息 = 上月剩余贷款余额 - 月还款额 + 上月剩余贷款额 x 月利率 = 上月剩余贷款余额 x (1 + 月利率) - 月还款额 　　设： 　　A = 贷款金额 　　r = 月利率 　　n = 期数 　　z = 月还款额 　　这样，各个月的剩余贷款余额如下表： 期数 剩余贷款余额 0 A A 1 A(1+r) - z A(1+r) – z 2 [A(1+r) - z](1+r) – z A(1+r)2 – z[(1+r) + 1] 3 {A(1+r)2 – z[(1+r) + 1]}(1+r) - z A(1+r)3 – z[(1+r)2 + (1+r) + 1] … … … n {A(1+r)n-1 – z[(1+r)n-2 + … + (1+r) + 1]}(1+r) - z A(1+r)n – z[(1+r)n-1 + … + (1+r) + 1] 　　根据上表，最后一期的剩余贷款余额是： 　　A(1+r)n – z[(1+r)n-1 + … + (1+r) + 1] = A(1+r)n – z[(1+r)n - 1] / r 　　上面的计算是根据等比数列的求和公式，Sn = a1(qn – 1) / (q – 1)，其中 a1 = 1，q = 1+r 。 　　由于最后一期的剩余贷款余额必须为零，因此： 　　A(1+r)n – z[(1+r)n - 1] / r = 0 　　z[(1+r)n - 1] / r = A(1+r)n 　　z = A · r · (1+r)n / [(1+r)n - 1] 　　这就是本文一开头提到的等本息法月还款额的计算公式。 　　2. 等本息法应付的总利息 　　在利率不变的情况下，等本息法的月还款额是固定的，计算公式如下： 　　月还款额 = 贷款金额 x 月利率 x　 (1+月利率)期数 / [(1+月利率)期数 - 1] 　　本月月还利息 = 上月剩余贷款余额 x 月利率 　　本月月还本金 = 月还款额 - 本月月还利息 　　本月剩余贷款余额 = 上月剩余贷款余额 - 本月月还本金 　　因此： 　　总利息 = 总还款额 - 贷款金额 = 月还款额 x 期数 - 贷款金额 = z · n - A 　　将月还款额 z = A · r · (1+r)n / [(1+r)n - 1] 代入上式，得到： 　　总利息 = A · [1 + (n · r - 1) · (1+r)n] / [(1+r)n - 1] 　　上式中，贷款金额 A 和月利率 r 都是正实数，期数 n 是正整数。 　　思考题： 　　证明：按上式计算的总利息大于零。 　　当月利率 r 趋向于零时，按上式计算的总利息的极限是多少？ 　　当贷款金额 A = 10 万元，月利率 r = 3.87% / 12，期数 n = 240 时，代入上式计算得到的总利息是 43,796.52 元。下图中使用个人住房贷款计算器计算出来的总利息是 43,796.00 元，两者相差 0.52 元，是因为该计算器在计算还款计划表时各个月的月还利息都必须进行舍入处理造成的。 　　3. 等本金法应付的总利息 　　在利率不变的情况下，等本金法的月还本金是固定的，计算公式如下： 　　月还本金 = 贷款金额 / 期数 　　本月月还利息 = 上月剩余贷款余额 x 月利率 　　本月月还款额 = 月还本金 + 本月月还利息 　　本月剩余贷款余额 = 上月剩余贷款余额 - 月还本金 　　这样，各个月的月还利息如下表： 期数 月还本金 月还利息 剩余贷款余额 0 　 　 A · (1 – 0/n) 1 A / n r · A · (1 – 0/n) A · (1 – 1/n) 2 A / n r · A · (1 – 1/n) A · (1 – 2/n) 3 A / n r · A · (1 – 2/n) A · (1 – 3/n) … …