k形相似(教案).docVIP

尝试变式教学法系列 专题复习--------老k梯形 一、尝试点析 【例】在梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°。点P是线段AB上一点，且PDPC，PD=PC。求证：△DAP△PBC 【联想反思】 这个图形是几何中常见的一个基本图形。点A、P、B这三点之间有什么特征？在这条直线上存在几个直角？ 在这个梯形中，两底AD和BC与高AB有怎样的数量关系？为什么？ 如果设AD=a，AP=b，PD=c，那么PB、BC、PC的长分别是什么？你能利用这个基本图形验证勾股定理吗？ 勾股定理是我们数学中的法宝。中国人喜欢，外国人也喜欢。美国第二十任总统加菲尔德就是利用这个基本图形来验证勾股定理的。历史上戏称为“总统证法”。这种利用图形的面积来证明的方法数学上叫做什么方法？ 如果去掉一个条件“PD=PC”，其它条件不变，那么△DAP△PBC还成立吗？为什么？这两个三角形有怎样的关系？你能证明你的结论吗？ 如果变换一下条件，将直线AB上的三个直角相等改为一般的角相等：∠A=∠B=∠DPC。那么△DAP△PBC还成立吗？说明你的理由。 由此我们发现：在一条直线上如果有三个角相等，那么必然存在两个三角形-------- 这个结论可以归纳为------------- 【方法点拨】如果三个点在同一直线上，并且有三个角相等，那么不然存在两个三角形相似。这个结论可以归纳为一句话：一线三等角，首尾相似找。 二、变式练习 【变式1】在梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°。点P是线段AB的中点，且AB=12，BC=9，AD=4。求证：△PDC是直角三角形 【尝试反思】本题你还有其它的证明方法吗？ 【方法点拨】要证明一个三角形是直角三角形的方法有： 利用勾股定理的逆定理：证明两较短边平方和等于较长边的平方 利用直角三角形的定义：证明一个角是直角 利用直角三角形中线的性质定理的逆定理：证明一边上的中线等于该边的一半 【变式2】在梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°。点P是线段AB上的动点，且AB=12，BC=9，AD=4。在AB上是否存在一点P，使得△PCD是直角三角形。若存在，求出PA的长。 【方法点拨】遇到直角三角形的问题时，要注意哪个角是直角。如果直角没有确定，一般要分三种情况讨论。这种解题的思路就是我们数学中的分类思想。在本题中，为了求出PA的长，我们把它设为x，根据勾股定理列出一个方程来解决，这种解题的思想就是我们数学中的方程思想。分类思想、方程思想是我们解决直角三角形、等腰三角形多解问题的两大法宝。 【变式3】在梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°。点P是线段CD上的动点（不与C、D重合），且AB=12，BC=9，AD=4。在CD上是否存在一点P，使得△PAB是直角三角形。若存在，求出PD的长。 三、尝试作业 1、如图，已知ABCD，∠B=90°，∠PAD=∠PDA，AB=PC （1）求证： （2）请你直接写出线段AB、CD、BC之间的数量关系。 （3）△PCD能否有△ABP通过旋转变换得到？平移呢？请你利用这两种方法学出这个图形变换。 2、如图，在梯形ABCD中。点E是边AB上一点，且DEEC，AD=3，AB=8。 （1）若AE=4，则BC= （2）若AE=x，BC=y，求y关于x的函数关系式。 （3）△DEC能否为等腰三角形？若能，求出AE的长。 在AB上是否存在一点E使得△DEC与△ADE相似？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。 3、在一次数学活动中，小明同学将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上的点F处。如图所示： （1）若∠DFC=40°，则∠CEF= ° （2）若AB=8，BC=10，求EB和折痕EC的长及重叠部分的面积。 4、如图，已知，，CD=4，BD=14。 试问：在DB上是否存在一点P，使△PCD与△PBA相似？ 若存在，求出PB的长；若不存在，说明理由。 5、已知点D是正△ABC边BC上一点。且BD=4， ∠ADE=60°，CE=3。 求△ABC的面积。 四、提高练习 1、如图，在等腰梯形ABCD中，，AB=CD，AB=4，BC=9，点P是BC边上一个动点（不与B、C重合），连结AP，过点P作PQ交CD于Q，使得∠APQ=∠B。当BP为何值时，点Q是CD的中点？ 2、如图，矩形ABCD中，P是线段BC上一点，∠APD=90°，若BP：PC=2，求tan∠ADP的值。 3、如图，已知直线交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD。求经过A、D、C三点的抛物线的解析式。