第十章10-7 用相量法求微分方程的特解 电路分析基础 教学课件.pptVIP

* 电 路 分 析 基 础 Powerpoint 制作：邹国良 课程主讲：邹国良 电话： O) 或： H) Email ： zgl3594@263.net zgl3594@ sohu .com 电路分析基础 —— 第十章第七节 电路分析基础——第二部分：第十章 目录 第十章 交流动态电路 1 周期电压和电流 5* 复数四则混合运算的复习 2 正弦电压和电流 6 相量 3 正弦RC电路的分析 7 用相量法求微分方程的特解 4* 复数的复习 8 正弦稳态响应 电路分析基础——第二部分：10-7 1/6 10-7 用相量法求微分方程特解 引理 I 唯一性引理。若要两个正弦同频信号相等，当且仅当两个信号的相量相等时才成立。 Re[A e j?t] = Re[B e j?t] ? ? 即 A = B ? ? 引理 II 线性引理。若使两个正弦同频信号线性组合，则该两个信号的相量也满足线性组合。即 ? ? ?A(t) ?B(t) A， B 若 ? ? ??A(t) + ??B(t) ?A + ?B 则 引理 III 微分引理。正弦信号求导数，则其对应相量等于原信号相量与 j?的乘积。即 ? ?(t) X， 若 则 d dt ?(t) ? j?X 电路分析基础——第二部分：10-7 2/6 运用三个引理可以得出常系数线性微分方程的相量求解的一般法则。设微分方程为 dn dtn ? a0 + dn -1 dtn -1 ? a1 + … + d dt ? an - 1 + an ? = Amcos(?t + ?)（10-28） 由 Amcos(?t + ?) = Re[Am ?t ] , Am = Am ? = Amej? （10-29） ? ? 并设 ? 不等于方程的特征根，则方程的特解为同频率正弦波。 ? 即 ?(t) = Xmcos(?t + ?) = Re[Xm ?t ] , Xm = Xm ? = Xmej? ? （10-30） dn dtn a0 + … + an Re[Xm ?t ] = Re[Am ?t ] Re[Xm ?t ] ? ? ? 将（10-29）和（10-30）两式代入（10-28）可得 由引理II，可得 dn dtn + … + Re[anXm ?t ] = Re[Am ?t ] Re[a0Xm ?t ] ? ? ? 电路分析基础——第二部分：10-4 3/6 由引理III，可得 + … + Re[anXm ?t ] = Re[Am ?t ] Re[a0(j?)n Xm ?t ] ? ? ? 再根据引理II，可得 … + an–1(j?) + an] Xm ?t} = Re[Am ?t ] Re{[a0(j?)n + a1(j?)n–1 + ? ? 根据引理 I，可得 … + an–1(j?) + an] Xm = Am [a0(j?)n + a1(j?)n–1 + ? ? 即 Am a0(j?)n + a1(j?)n–1 + … + an–1(j?) + an ? ? Xm = 也就是说：运用三个引理可以得出响应正弦波相量 Xm 和激励正弦波 Am 之间的关系。 ? ? 电路分析基础——第二部分：10-4 4/6 由此可得所求相量的模为 Am (an–…+(–1)kan–2k?2k +…)2 + (an –1?–…+(–1)kan –2k –1?2k+1 +…)2 Xm = ? 的偶次方项 ? 的奇次方项 相量的相位为 ? = ? – arctg an –1?–…+(–1)kan –2k –1?2k+1 +… an–…+(–1)kan–2k?2k +… 由此可解得 ?(t) = Xmcos(?t + ?) 电路分析基础——第二部分：10-4 5/6 例10-10 如图10-23所示电路与图10-11相同。试用相量法求微分方程的特解。已知is(t) = 2cos(3t + ?/4) A, R = 1?, C = 1F。 图10-23 例10-10 is(t) C + – uC(t) R 解：参考10-3节，电路的微分方程为 + GuC C duC dt =