数值分析4-5 高斯算法.pptVIP

一、高斯点 定义：高斯公式 机械求积公式 含有2n+2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代 数精度，则这类公式称为高斯公式。 (4.1) 请回答: 以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯 特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？ 答：除中矩形公式外都不是！ 定义：高斯点 高斯公式的求积节点称为高斯点 举例 求 [a,b]上的一点和二点高斯公式。 解 设一点高斯公式为 则其代数精度应为 即 解得 中矩形公式 再设两点高斯公式为 则其代数精度应为 即 这是关于四个未知数的非线性方程，难于求解 高斯点具有以下性质： 定理 对于插值型求积公式(4.1)，其节点 是高斯点的充要条件是 以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过n的多项式P(x)均正 交，即 启发： 如何求 高斯 公式！ 证明 先证必要性，即 是高斯点 设P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则 P(x)ω(x)的次数不超过2n+1，因此应准确 成立 但 故 再证充分性。即 是高斯点 对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x), 用 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)， 即 2n+1 n+1 n n 由已知条件，ω(x)与P(x)正交，得 由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具 有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立： 再注意到ω(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，从而有 于是由前面的推导知 这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立，故xk是高斯点。 定理给我们的启发： 1、求出[a, b]上与所有次数不超过n的多项式 都正交的多项式ωn+1(x)。 2、求出ωn+1(x)的n+1个零点就是高斯点。 请回答: [-1，1]上与所有次数不超过0的多项式都 正交的多项式ω1(x)=？ 解：设P0(x)=C，ω1(x)= x – x0。由于 即 展开，得 则一个点的高斯公式为 中矩形公式 二、高斯—勒让得公式 若取[a, b]=[-1, 1]，其上的高斯公式为 由于勒让得多项式是[-1，1]上的正交多项式， 因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。 特殊地若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造 求积公式 令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2. 即一点高斯公式为 中矩形公式 令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1 可得两点高斯—勒让得公式为 再取 的零点 作节点构 造求积公式 注：其它的高阶公式详见书。 请回答: 高斯—勒让得公式仅适用于求积区间是 [-1，1]，那么对于任意求积区间[a, b]如 何求？ 解 作变换 可以化到区间[-1，1]上，这时 三、带权的高斯公式 定义：带权的高斯公式 求积公式 若该公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式. 上述ρ(x)≥0是权函数。 高斯点