数值分析4-4 龙贝格算法.pptVIP

一、梯形法的递推化 前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，如何给出？ h太小则计算量增加 h太大则精度不满足 采用变步长 的计算方案 1.定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半（即 步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式 进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求 为止。 下面讨论变步长的梯形法的计算规律。 2. 变步长的梯形法 设将区间[a, b]分为n等份，共有 n+1 个分点 其步长 ，在每个小区间[xk，xk+1]上 用梯形公式计算为 如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点 增至2n+1个，记区间[xk，xk+1]上 经过二分后新增分点为 用复化梯形公式求得该区间上的积分值为 故在整个区间上的积分值为 即 只需计算新增分点的函数值 这里的h是二分前的步长 举例 计算积分值 详见书上本节例2，计算时要注意公式中步长 的含义。 请回答：本例最后结果二分多少次？ 共有多少个分点？ 答： 二分10次，共有210 +1=1025个分点，将区间平分为210=1024份。 变步长梯形法的优缺点： 优点 算法简单，便于编程 缺点 精度较差，收敛速度缓慢 龙贝格公式 二、龙贝格（Romberg）公式 复化梯形法的误差公式当h → 0时为： 即积分值Tn的截断误差大致与h2成正比，因 此当步长二分后，截断误差将减至原有误差 的1/4，有 整理得 即 上式说明T2n的误差大致等于 如果用这个误差作为T2n的一种补偿，可以 期望所得到的 可能是比T2n更好的结果。 事实上，当n=1时 那么 其实质究竟是什么呢？ 这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与 T2n组合成 就是辛甫生公式Sn。即 再考察复化辛甫生公式 复化辛甫生公式的误差公式当h → 0时为： 即积分值Sn的截断误差大致与h4成正比，因 此当步长二分后，截断误差将减至原有误差 的1/16，有 整理得 可以验证这样的组合就是柯特斯公式 这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值Sn 与S2n组合成柯特斯公式Cn。即 重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶 为h6，可进一步导出下列龙贝格公式： 综合上面的加工过程，有 实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式 对梯形公式加工： 对辛甫生公式加工： 对柯特斯公式加工： 能否对龙贝格公式再加工 取得较高精度的公式？ 现在的问题是： 李查逊（Richardson） 外推加速法 三、李查逊外推加速法 定理 设 ，则成立 式中系数 与h无关 李查逊外推加速法基于如下原理 李查逊外推加速法的处理过程： 由 那么 可知T(h)≈I 是二阶收敛的 ×4 减 则得 这样构造的T1(h) ≈I 是四阶收敛的 这里的 均与h无关