随机过程课件第三章.pptVIP

第三章 泊松过程 泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布 非齐次泊松过程 复合泊松过程 §3.3　非齐次泊松过程 在泊松过程的定义中，关于平稳增量的条件 是对计数过程的一种限制，在许多物理系统中是 满足的，若时刻 t 到达的速率是 t 的函数，则关于 平稳增量的条件应舍去，从而产生非齐次泊松过程的概念。 定义：称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程； 非齐次泊松过程的数字特征为： * * 定义3.1 ：称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件： N(t) ≥0; N(t)取正整数值； 若st，则N(s) ≤N(t)； 当st时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。 §3.1 泊松过程的定义 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。 计数过程N(t)是独立增量过程 定义3.2：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程； 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有 泊松过程同时也是平稳增量过程 定义3.3：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是平稳独立增量过程； X(t)满足下列两式： 例如： 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数； 定理：定义3.2和定义3.3是等价的。 证明 §3.2 泊松过程的基本性质 一.数字特征: 设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且st，由泊松过程的增量分布服从泊松分布可得: 由于X(0)=0，所以 一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为 泊松过程的特征函数为： 二、时间间隔与等待时间的分布 T1 W1 t 其概率密度为： 对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为： Wn是指第n次事件A到达的等待时间 因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。 等待时间的分布 此分布又称为爱尔兰分布 三、到达时间的条件分布 假设在[0,t]内事件A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。 泊松过程 平稳独立增量过程 可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于0≤s＜t有 即分布函数为： 条件分布密度为： 0 s t w1 推广到一般情况 定理：设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2, …Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。 Γ分布的密度函数积分为1