工程力学(梁的平面弯曲).ppt

* 例10.6 试给出图示简支梁的挠曲线方程和转角方 程，并求确定梁的最大挠度和最大转角。 解：1. 求支反力: x y c x B A a b L F 2. 列弯矩方程: FA M1 FQ x A 3. 写挠曲线微分方程并积分: A F M2 FQ x A F a AC段: 0 ? x ? a M1(x)=FAx=Fbx/L CB段: a ? x ?L M2(x)=Fbx/L-F(x-a) F A F B FA=Fb/L; FB=Fa/L * 3. 写挠曲线微分方程并积分: 转角 挠度 边界条件 x=0, y =0 x=L, y =0 1 2 连续条件： x=a, q =q x=a, y =y 1 1 2 2 x y c x B A a b L F AC段: 0 ? x ? a M1(x)=Fbx/L CB段: a ? x ?L M2(x)=Fbx/L-F(x-a) * 转角 挠度 边界条件 x=0, y =0 1 连续条件 x=a, q =q 1 2 4. 确定积分常数: 边界条件 x=L, y =0 2 C =0 2 连续条件 x=a, y =y 1 2 C =D 1 1 D =0 2 最后得到： C2=D2=0； C1=D1=Fb(b2-L2)/6 6 / ) ( 2 2 2 1 L b Fb D L D - = + * 5. 求最大转角: 转角 q 取极值的条件是: dq/dx=M(x)/EIz=0，二端M(x)=0 若ab，则 ，B处转角值最大。 A B q q q = max x y c x B A a b L F x=0处： L EI b L Fab L EI b L Fb z z A 6 ) ( 6 ) ( 2 2 + = - = q x=L处： L EI a L Fab L EI b L Lb L Fb z z B 6 ) ( 6 )] ( 3 3 [ 2 2 2 + = - - - = q * 5. 求最大挠度: (ab) x=0处： x=L处： 何处转角为零 ？ 是否在0?x ?a 内？ 1 令q 2=0，得到的解将不在[a, L]内。 转角 x y c x B A a b L F 令q 1=0，解得： 3 / ) ( 2 2 1 b L x - = 2 2 2 3 a b L - 可证 * 挠度 5. 求最大挠度: (ab) 因为 0?x ?a，由y 给出： 1 1 x y c x B A a b L F y取极值的条件是: dy/dx=q=0，此时： 3 / ) ( 2 2 1 b L x - = * 汇总： 转角 最大挠度值： 讨论： 若a=b=L/2， 则： 挠度最大处：x1=L/2 x y c x B A a b L F x=0处： L EI b L Fab z A 6 ) ( + - = q x=L处： L EI a L Fab z B 6 ) ( + = q 挠度最大处： 3 / ) ( 2 2 1 b L x - = z LEI b L Fb y 3 9 ) ( 3 2 2 max - = 转角： z A B EI FL 16 2 = = q q 最大挠 度值: z EI FL y 48 3 max = 变形与载荷间是线性关系! * 问题讨论： x y c B A 分几段？ 问题的边界条件、连续条件 ？ 边界条件 连续条件 A处： yA=0 B处： yB=0 AB、BC二段 B处： y =y q =q 1 1 2 2 A处： yA=0 B处： yB=0， qB =0 分AC、CD、DB三段。 C处： y =y 1 2 D处：y =y q =q 2 2 3 3 C B A q a a a D * 转角方程： 挠度方程： 进一步讨论 ： 梁的变形、载荷微分关系 剪力方程： 载荷方程： q 为零处， FQ取极值； FQ为零处，M取极值； M为零处， q 取极值； q 为零处， y取极值； 无为零处，极值在端点处。 挠曲线微分方程 弯矩方程： 积分 微分 * 再讨论: 线性叠加方法 在线弹性小变形条件下， s=Ee， 变形与载荷间有线性关系。 图(a)=图(b)+图(c) l/4 x y B A F l C FA FB l/2 l/4 F D (a) x y B A F C