固体物理第四章能带论一.ppt

零级近似： 微扰项： 可由自由电子求出零级近似的归一化波函数和能量本征值 与一维情况类似，一级微扰能量为 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 其中 ＝{ 当 k’＝k＋Gn 当 k’ ? k＋Gn 当 k 离布里渊区边界较远时，由于周期场的影响而产生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。但是，在布里渊区边界面上或其附近时，即当k2?(k+Gn)2时，这时相应的散射波成分的振幅变得很大，不能当作小的微扰来处理，而要用简并微扰来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组合来组成，由此可解得在布里渊区边界面上简并分裂后的能量为 kx k1 k2 k3 ky k 需要指出的是，在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成；而在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重简并的情况。对于 g 重简并，即有 g 个态的相互作用强，因而，其零级近似的波函数就需由这 g 个相互作用强的态的线性组合组成，由此解出简并分裂后的 g 个能量值。 k k3 k2 k1 k4 k5 k6 k7 二、布里渊区与能带 引入周期性边界条件后，在k空间中，波矢k的取值不连续，k的取值密度为 V为晶体体积 而简约区的体积＝倒格子原胞体积＝ ?b 简约区中 k 的取值总数＝?(k) ?b＝N＝晶体原胞数 每一个 k 确定一个电子能级，根据 Pauli 原理，每一个能级可以填充自旋相反的两个电子。因此，简约区中共可填充 2N 个电子。 由于每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积?b，所以，每一个布里渊区都可以填充 2N 个电子。 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ 1. En(k)函数的三种图象 在 k 空间中，电子能量 En(k) 函数有三种不同的表示方式，称为三种布里渊区图象。这三种表示方法是等价的，可根据所考虑问题的方便选择不同的表示方法。 若波矢量 k 在整个 k 空间中取值，这时每一个布里渊区中有一个能带，第 n 个能带在第 n 个布里渊区中，这种表示法称为扩展的布里渊区图象。 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ 若将波矢量 k 限制在简约区中，由于 k 和k+Gl所对应的平移算符本征值相同，也就是说，k 和 k+Gl标志的原胞间电子波函数的位相变化相同。在这个意义上，可以认为 k 和k+Gl是等价的。因此，可以将 k 限制在简约区中。但是 由于电子的能量分为若干个能带，如将所有能带都表示在简约区中，那么，对于一个简约波矢 k，就有若干个分立的能量值与之对应。我们用 n来区分不同的能带 En(k)。对于给定的能带 n， En(k)是 k的连续函数。 En(k)的这种表示法称为简约布里渊区图象。实际上，由于我们认为 k和 k+Gl 等价，因而， En(k)的简约布里渊区图象中的第 n 个能带，实际上是由扩展布里渊区图象中从第 n个布里渊区中平移一个倒格矢 Gl 而得来的。 由于认为 k 和 k+Gl 等价，因而可以认为 En(k)是 k空 间中以倒格矢Gl为周期的周期函数，即En(k)＝ En(k＋ Gl)。而简约布里渊区是倒易空间的原胞，以此原胞为重复单 元进行平移操作可以得到整个 k 空间，这些单元都是等价的。因此，对于同一能带有： En(k)＝ En(k＋ Gl) En(k) 的这种表示法称为周期布里渊区图象。 扩展布里渊区图象：不同的能带在k空间中不同的布里渊区中给出； 简约布里渊区图象：所有能带都在简约区中给出； 周期布里渊区图象：在每一个布里渊区中给出所有能带。 2. 能带重叠的条件 我们已证明，在布里渊区内部，电子能量是连续的（严格应为准连续），而在布里渊区边界上，电子能量不连续，会发生能量的突变。在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为：?E＝E＋－E－＝2?Un? 这就是禁带的宽度（能隙）。 但在三维情况下，在布里渊区边界上电子能量的突变并不意味着能带间一定有禁带的存在，而且还可能发生能带与能带的交叠。这是由于在三维情况下，在布里渊区边界上沿不同的 k 方向上，电子能量的不连续可能出现的不同的能量范围。因此，在某些 k 方向上不允许有某些能量值，而在其他 k 方向上仍有可能允许有这种能量，所以，在布里渊区边界面上能量的不连续并不一定意味着有禁带。这是三维情况与一维情况的一个重要区别。 能带交迭的示意图 小结：近自由电子近似的主要结果： 存在能带和禁带： 在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 EK0 作为 k 的函数具有抛物线形式。由于周期势场