根轨迹例题.pptVIP

* * 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； ○ 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为： 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角： 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点： 注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。 [例]开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。 解：将开环传递函数写成绘制根轨迹的标准形式 开环有四个极点： 开环无零点。 按照绘制根轨迹规则的顺序求根轨迹的有关参数。 （1）开环传递函数有四个极点，故有四条根轨迹； （2）确定实轴上的根轨迹： 在实轴上（0，－20）之间为根轨迹段。 （3）根轨迹的起点：四个开环极点； 根轨迹的终点：四条根轨迹均终止于无穷远处。 （4）根轨迹渐近线： 渐近线与实轴的交点： 渐近线的倾角： （5）根轨迹的分离点： 求得分离点为： （6）根轨迹的起始角： 因为开环有一对共轭复数极点，需求 处的根轨迹起始角。 根据对称性规则： （7）根轨迹与虚轴的交点： 系统闭环特征方程为： 将 代入得： 求得： 根据以上结果画出概略的根轨迹图。 例1：已知系统的开环传递函数为： （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为 其中 ①开环极点0，－1，－4，它们是三条根轨迹起点。系统无有限开环零点，故根轨迹将趋向于无穷远点。 ②根轨迹的渐近线： ③实轴上的根轨迹区间是（－∞，－4），（－1，0） ④求根轨迹分离点 由③知s2不在根轨迹上，故s1是根轨迹的分离点。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程为： 劳斯阵列为： 第一列出现零，即Kg＝20时系统处于临界稳定，其对应的临界开环增益为K＝Kg/4＝5。 相应的辅助方程为 即 与虚轴的交点为： 求交点也可用如下方法： 令 代入方程得： 系统的大致根轨迹如图： 确定K值范围：与分离点s1相应的 因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值范围应为 。 例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为： （1）绘制系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K值范围。 （2）若已知系统闭环极点s1=－1，试确定系统的闭环传递函数。 解：（1） ①开环零、极点 ②实轴根轨迹 ③渐近线 ④分离点 可作出根轨迹如图：