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几何概型应是古典概型的延续和拓展 -------从一道中考试题谈起 一、请看2010年济南市初三学业水平试题： 20．(本小题满分8分)如图所示，有一个可以自由转动的圆形转盘，被平均分成四个扇形，四个扇形内分别标有数字1、2、－3、－4若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为a、b（若指针恰好指在分界线上，则该次不计，重新转动一次，直至指针落在扇形内）． .解： b 1 2 －3 －4 1 2 2 4 －6 －8 －3 －4 6分∴a与 b的乘积等于2的概率是. 8分 一、选择题 1．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是(　　)A．1 B. C. D. 解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.则所求概率P＝＝. 答案：C 2. (2009·福建福州)为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是(　　) A．12 B．9 C．8 D．6 解析：正方形面积为36，阴影部分面积为×36＝9. 答案：B 3. (　　) A. B. C. D. 解析：在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD=MC= ，当点N不在半圆弧上时，MN ，故所求的概率P(A)= . 答案：D 4．(2010·高考改编题)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin的值介于－与之间的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，要使sin的值介于－与之间，需使－≤≤，即－≤x≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为＝，故选D. 答案：D 二、填空题 5. (2009·安徽合肥模拟)某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________． 解析：设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝a·＝a. ∴概率P＝＝. 答案： 6. 7．(2010·广东调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为________． 解析： 取AD的三等分点E′、F′，取BC的三等分点E、F，连接EE′、FF′，如右图所示．因为AD＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以当点P落在虚线段EE′上时，△ABP的面积等于1，当点P落在虚线段FF′上时，△CDP的面积等于1，从而可知当点P落在矩形EE′F′F内(包括边界)时△ABP和△CDP的面积均不小于1，故可知所求的概率为P＝＝. 答案： 三、解答题 8．某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率． 解答： 9．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 解答： 10．(2010·宁夏中卫调研)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； (2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解答：(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a. 若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1； 若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2； ∴所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16. ∴所求事件的概率为＝. 5 1 2 －3 －4 第20题图 a