组合在古典概型中的应用.docVIP

排列、组合在古典概型中的应用 福建省永泰职业中专学校 余则华 【摘 要】古典概型是一种特殊的概率模型，在概率理论中占有重要地位，是高中数学的重要学习内容，它在我们的生产和实际生活中有着广泛的应用。而如何应用排列组合的知识解决古典概型问题，是我们高中数学教学的一个重点。本文从排列问题的概率；组合问题的概率；排列与组合综合问题的概率。三个方面阐述排列、组合在古典概型中的应用。 【关键词】古典概型；排列；组合；概率 概率论是中学数学分支中最基础的内容，它研究的是随机现象中有关事件的概率。在近几年的高考试卷中，概率与统计的内容每年都有涉及，应用题的知识背景多以概率统计为主。古典概型也是考查的一个重要内容。古典概型是一种特殊的概率模型，它在概率理论中占有重要地位，在我们的生产和实际生活中有着广泛的应用。并为应用数学知识解决实际问题提供了新的思想方法。古典概型学习的好坏将直接影响到互斥事件、对立事件、独立事件等概率的学习，它是数理统计的基础。 古典概型的特点： (1)试验的所有可能结果只有有限个：(2)每一个试验结果出现的可能性相同。 因此，根据古典概型的特点，求事件的概率，可以不通过大量重复试验，只通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可。古典概型的定义公式是：P(A)= (m是事件A包含的基体事件数，n是试验的基本事件总数)。应用这个公式进行计算时，其步骤：(1)计算一次试验中的基本事件总数n；(2)计算某事件A包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求值。 古典概型问题经常涉及到我们所学过的排列和组合的应用题。排列和组合的应用题又是高中数学中的一个难点，是初等代数中较为独特的内容，它研究的对象以及研究问题的方法与旧知识联系的少，且内容比较抽象。因此在教学中要注重培养学生的逻辑思维能力。古典概型的知识与排列组合的联系十分紧密，许多考查的内容都是排列组合知识的进一步应用。因此，如何应用排列组合知识解决古典概型问题是我们高中数学教学的一个重点。而古典概型公式中的n、m与排列、组合应用题中的排列数或组合数有着紧密的联系，古典概型只是进一步去求得它们之间的比值。因此，我们要学好这一类型的概率，首先得弄清这一类型的应用题是属于排列还是属于组合或者两者兼之的问题。然后再进一步加以讨论求出n和m的值。本文就以下三个方面阐述排列、组合在古典概型中的应用。 一、排列问题的概率 我们在学习古典概型时研究的问题几乎都是建模题。它是考查学生语言理解的能力，要求学生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流，而学生对此类问题的掌握相对不好。因此，我们在教学中要从理解概念入手。排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部进行排列或组合，共有多少种方法的问题。而排列问题是与顺序有关的。因此求其概率时，如果遇到与顺序有关系的问题，应了解m、n与排列数是怎样的关系，然后利用古典概型的公式解答。 例1、本班数学兴趣小组有5名男同学，3名女同学。求下列事件的概率。 (1)8人排成一队，其中甲必须站在排头的概率? (2)8人排成一队，其中甲不能站在排头与排尾的概率? (3)8人排成一队，其中任何两名女同学都不能相邻的概率? 分析：此题是关于古典概型中的排列问题。所有基本事件的总数是8人，全排列，即n=A88；而某事件包含的基本事件总数也是排列问题，它是三种情形下的各自排法的总数。 (1)题m= n= P(A)= = (2)题中的m是在(1)的基础上加深一步，可分两种方法来求。第一种解法：8人全排列中扣除甲站在排头与排尾的情况，即m=-2。第二种解法：甲在中间6个空位中任选一个，其余7人全排列。即m=。两种解法所得甲不能站在排头与非尾的概率都是P(B)= 。 (3)题中m的求法，应利用插空法分两步来求得。首先是把5个男生排成—排有种，这时有6个间隙，再把3个女生插入这6个间隙里有种，即m=·。所以可得任何两名女同学都不能相邻的概率 P(C)== 。 二、组合问题的概率 组合问题与排列问题之间的主要区别在于是否考虑所选元素的顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，而组合是与顺序无关的。我们在解题中要让学生明白组合数的求法，然后考虑古典概型中的n、m是怎样来求得的。 例2、甲、乙两人参加普法知识竟赛答题，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，两人依次各抽一道，试求： (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 分析：此题是关于古典概型中的组合问题。(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果是个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的结果是个，即m=。又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，即n=。所以甲抽到选择