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第五讲 注重数学本质? 提高数学素养 张奠宙? 教授 数学教育家 华东师范大学 唐彩斌? 中学高级教师 浙江杭州现代小学数学教育研究中心 一、 问题解决与应用题的教学 唐：在数学新课程改革中，老师们会有很大的困惑，就是以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。这两者有怎样的联系？我们应该怎样来处理传承与创新之间的关系？请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。 张：数学问题分为两类，一类称为纯数学问题，像歌德巴赫猜想，另一类称为应用问题，像大学里有应用数学专业，可见应用问题是客观存在，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的远离现实，使学生得不到什么教育的应用题。 新的应用题， 其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余， 数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。 像这一些都是过去的应用题所缺乏的。 唐：张老师你也常常提起一个很典型的例子，就是弗赖登塔尔举过的一个例子，你能否再给大家介绍一下。 张：对，这是我很欣赏的一个例子，弗赖登塔尔可以说是20世纪最伟大数学教育家，弗赖登塔尔有一个经典的问题：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印，今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？像这样的问题很现实，使我们每个学生都很感兴趣，但是它蕴含的数学思想又非常深刻。尤其是体现比例的思想，通过测量两只手大小的比值，按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度，这是比、比例、相似等数学本质的体现。像这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。 唐：像这样的问题既具有现实意义，又包含了很重要的数学思想。但说起应用题与解决问题，还有一个著名的“船长问题”不得不让我们重提。“一条船上有75头牛， 32头羊， 问船长几岁？”。记得这个题目最早是张教授引进国内的。那时是怎样的一个背景情况？ 张：当时我是在一个国际会议上面，见到法国的一个数学教育家，他告诉我在1980年前后，他们在法国进行调查。这本来是一道是不能做的题目，可是在调查过程中发现他们学校的学生往往能够做出来，因此法国的教育家说了一句很语重心长的话：“我们的学校是不是把孩子越教越笨了？”记得那年我们在国内也选取一些学校做实验，结果有近90％的学生得出来答案。学生都有这样的思想，就是老师出的题目都是对的，都是有答案的。 唐：对，当时我也是看到你的调查有一些新的启示，这么多年过去了，现在的情况又是怎样的呢？所以最近我们又做了一个调查，老师们可以看一下屏幕上的表格，我们选择的调查对象既有二、三年级，也有四、五、六年级的学生，老师们可以从数据上发现，有26.7％的学生是把两个数相加作为船长的年龄，还有45.1％的同学通过两个数相减得出船长的年龄。也就是说有超过70％的同学仅仅通过加减算出来答案。20年过去了，张老师当你看到这一组数据时是一种什么样的感觉？ 答案 107岁 43岁 加减都做 其它答案 不能做 合计 六年级 4 18 2 17 4 45 五年级 29 19 ? 7 0 55 四年级 9 39 1 27 8 84 三年级 23 46 1 10 2 82 二年级 24 28 1 11 3 67 合计 89 150 5 72 17 333 百分率 26.7% 45.1% 1.5% 21.6% 5.1% ?