指出下列谓词公式中的量词及其辖域.docVIP

练习2.1 1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题： （1）(x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元） （2）(x(P(x)∧Q(x))∧(xS(x)→T(x) （3）(x(P(x)→(y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)) （4）P(x)→((y(x(P(x)∧B(x,y))→P(x)) 解（1）全称量词(，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，(x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。 ? （2）全称量词(，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。 存在量词(，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。 T(x)中x为自由变元。(x(P(x)∧Q(x))∧(xS(x)→T(x)不是命题。 ? （3）全称量词(，辖域 P(x)→(y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。 存在量词(，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。(x(P(x)→(y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。 ? （4）全称量词(，辖域(x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。 存在量词(，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。 不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。P(x)→((y(x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。 ? 2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”： （1）(x(E(x)→┐x=1) （2）(x(E(x)∧┐x=1) （3）(x(E(x)∧x=1) （4）(x(E(x)→x=1) 再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。 解（1）(x(E(x)→┐x=1) 真 (x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1） 其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。 ? （2）(x(E(x)∧┐x=1) 假 (x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1） 其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。 ? （3）(x(E(x)∧x=1) 假 (x(E(x)∧x=1) 可表示成命题公式 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1) 其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1)假。 ? （4）(x(E(x)→x=1) 真 (x(E(x)→x=1) 可表示成命题公式 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1) 其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1)真。 ? 3、设整数集为个体域，判定下列公式的真值((表示数乘运算)： （1）(x (y(x(y=x) （2）(x(y (x(y=1) （3）(x (y(x+y=1) （4）(y (x (x(y=x) （5）(y (x (x+y=0) （6）(x (y(x+y=0) 解（1）(x (y(x(y=x) 真 （2）(x(y (x(y=1) 假 （3）(x (y(x+y=1) 真 （4）(y (x (x(y=x) 真 （5）(y (x (x+y=0) 假 （6）(x (y(x+y=0) 真 ? 4、量词 (! 表示“有且仅有”，(!xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。试用量词，(, (,等号“=”及谓词P(x),表示 (! P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与(!xP(x)具有相同的意义。 解 (!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示 (x（P(x) ∧(y（P(y)→y=x）） ? 5、设个体域为整数集，试确定两个谓词P(x,y)，分别使得下列两个蕴涵式假： （1）(x (!yP(x,y) →(!y(x P(x,y) （2）(!y(x P(x,y) →(x (!yP(x,y) 解（1）当P(x,y)表示x+y=0时(x (!yP(x,y) →(!y(x P(x,y)为假。 ? （2）当P(x,y)表示x(y=0时(!y(x P(x,y)→(x (!yP(x,y) 为假((表示数乘运算)。因为只有数0对一切整数x，有x(0=0，从而前件真；但对数0，可有众多y，使0(y=0，从而后件假。 ? 6、指定整数集的一个尽可能